Equazione caratteristica di una funzione di trasferimento

[Dearis]

Salve a tutti,
Non so se è la sezione adatta, o se dovrei spostarmi in quella di automazione, ma nel dubbio provo qui.

Se io ho una funzione di trasferimento del tipo:



Ottengo che la sua equazione caratteristica è del tipo:



Della quale studia "gli zeri" che risultano essere i poli della fdt, quindi utili per l'analisi della stabilità.
Perché? Come ha ottenuto quell'equazione e perché i suoi zeri sono i poli della fdt?

Grazie a tutti.

[sebago]

Forse si fa prima se dici dove l'hai trovata (una foto aiuterebbe)

[MarcoD]

Già, uno schema a blocchi aiuterebbe, ...disegnato con fidocadj...
Non è chiaro, stai forse considerando una funzione di trasferimento in catena aperta e del suo equivalente in catena chiusa con retroazione unitaria?

[DrCox]

Come ha ottenuto quell'equazione

Mettendo il blocco G, di cui hai indicato la FDT, in un sistema retroazionato.

perché i suoi zeri sono i poli della fdt?

perché quella equazione rappresenta il denominatore della FDT. E gli zeri del denominatore rappresentano i poli della funzione

[Dearis]

Grazie mille DrCox

Un'altra domanda, così evito di aprire un ulteriore topic, se io ho la seguente FdT:



Per frequenze non troppo basse si può fare la seguente approssimazione:



Dove:



Perché? Vi devo fare lo schema?

[DrCox]

Non serve lo schema (ti era gia' stato chiesto e non lo hai inserito, ho perso le speranze ).
La FDT che hai indicato assume quella forma (con le varie T messe in quel modo) solo per il tuo caso specifico. Un caso diverso potrebbe ad esempio avere T1 e T4 invertiti di ruolo.

Quello che stai facendo si chiama "approssimazione a polo dominante".
Essenzialmente si tratta di prendere una FDT e partire dalla bassa frequenza, salendo. Ad un certo punto, trovi un polo. Continuando a salire in frequenza, se c'e' "tanto spazio" tra questo polo ed i successivi poli/zeri, allora l'effetto di questi ultimi e' trascurabile e puoi approssimare la tua FDT come una FDT a singolo polo (quel polo che hai trovato prima).

Detta in termini piu' formali, presa una generica FDT, se la frequenza del primo polo e' sufficientemente inferiore* alla frequenza di tutti gli altri poli/zeri della FDT, allora puoi approssimare tale FDT come una FDT a singolo polo.

*c'e' chi considera "sufficiente" due decadi, chi una, ...

[Dearis]

Capisco, quindi si tratta semplicemente delle caratteristiche dei transitori dei "dispositivi" presenti nel sistema. Anche non sapendo a cosa si riferisce mi puoi dire che, dato che T1 e T2 sono stati trascurati, questi hanno un transitorio più veloce di quello di T4, e quindi aumentando la frequenza si possono addirittura trascurare i ritardi che introducono dato che sono molto piccoli rispetto a quelli di T4.

Però perché poi, matematicamente parlando, rimane T2/T1?

[DrCox]

Quanto detto sopra vale per frequenze non troppo alte.
Se sei interessato ad approfondire il comportamento della FDT in alta frequenze, le considerazioni da fare sono diverse.
Hai innanzitutto un polo dominante, settato da T4, che comincia a farti scendere di -20 dB/decade.
Poi avrai lo zero e l'ulteriore polo a frequenze più alte.
Se hai prima lo zero del polo, cosa succede? Che il grafico, che scendeva di -20 dB/dec, viene alzato un pochino dallo zero, poi torna giù a -20dB/dec. Rispetto al grafico ad un solo polo, nel limite di alta frequenza hai un offset tra queste due curve, entrambe con la stessa pendenza.
Viceversa, se hai prima il polo dello zero, inizi a scendere di -40 dB/dec, poi grazie allo zero torni a -20dB/dec. Rispetto al caso di polo singolo, questa nuova curva sta leggermente sotto.
Ecco il significato di quel rapporto tra le costanti di tempo dello zero e del polo. Ti permette di capire quanto guadagno hai a frequenza elevata, dopo che l'effetto locale dovuto al polo/zero extra si è smussato e stai di nuovo scendendo di -20dB/dec

[Dearis]

Grazie a tutti