Quello che volevo arrivare a concludere è che:

Dove:




ovvero che il postulato del 1°teorema di Koenig (il momento angolare totale di un sistema è dato dalla somma del momento angolare assoluto del centro di massa e dalla somma dei momenti angolari relativi rispetto al centro di massa) equivale a fare la somma di tutti i momenti angolari assoluti
Il generico momento angolare (o momento della quantità di moto) viene calcolato come prodotto vettoriale tra posizione e prodotto di massa per velocità:


Il sistema materiale che ho "inventato" è in allegato;
considerando ogni vettore nelle sue componenti x,y,z (







(dato che prima ho fatto il disegno e poi ho inserito i dati, le masse le ho calcolate in modo che il centro di massa fosse nel punto desisderato)


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eseguendo il calcolo secondo la formulazione del 1° teorema di Koenig risulta quindi:



(Il risultato l'ho calcolato a mano facendo i determinanti, con la calcolatrice e con Matlab e torna sempre)
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Adesso calcolo il momento angolare complessivo senza il teorema di Koenig che deve risultare uguale a quello appena calcolato:
Calcolo prima gli spostamenti e le velocità assolute:




dopodichè eseguo il calcolo:


I 2 risultati non coincidono (c'è una discrepanza di 30 tra i 2 valori ... 366.73 contro 396.73) e non riesco a capire cosa non torni.. ho provato anche a cambiare le procedure di calcolo ma i risultati rimangono sempre questi. Qualcuno saprebbe aiutarmi? Grazie e scusate il papiro
P.s.1 è possibile che il sistema che mi sono inventato infranga le condizioni iniziali per cui le formule che ho scritto sopra sono vere o che alcuni valori per forza correlati non rispettino le leggi che li correlano? Ci ho ragionato molto e mi sembra che sia tutto ok da questo punto di vista
P.s.2 questo è il listato matlab che ho utilizzato per il calcolo (oltre ad aver controllato tutto con la calcolatrice a mano, ottenendo gli stessi risultati)
- Codice: Seleziona tutto
%% VERIFICA 1° TEOREMA DI KOENIG
s_cm = [4;0;0] %poszione centro di massa [m]
sr_1 = [-1;sqrt(3);0] %posiz. rel. del punto 1 rispetto al CM [m]
sr_2 = [0.75;(-3*sqrt(3))/4;0] %posiz. rel. del punto 2 rispetto al CM [m]
m1 =11.25 %[kg]
m2=15 %[kg]
m_tot = m1+m2 %[kg]
v_cm=[0;3;0] %velocità assoluta CM [m/s]
vr_1 = [-1.5;0;0] %v. rel. punto 1 rispetto a CM [m/s]
vr_2 = [sqrt(3)/2;0.5;0] %v. rel. punto 2 rispetto a CM [m/s]
%% Momento angolare totale con 1° teorema di Koenig
%l_tot = l_cm_ass + sum(l_rel_i)
l_tot_koenig = cross(s_cm,m_tot*v_cm)+cross(sr_1,m1*vr_1)+cross(sr_2,m2*vr_2)
%% Momento angolare totale con "momenti assoluti"
%% modo 1 senza t. koenig
s_ass_1 = s_cm+sr_1 %spostamento assoluto del punto 1 [m]
s_ass_2 = s_cm+sr_2 %spostamento assoluto del punto 2 [m]
v_ass_1 = v_cm+vr_1 %velocità assoluta del punto 1 [m/s]
v_ass_2 = v_cm+vr_2 %velocità assoluta del punto 2 [m/s]
%questo conto non torna
l_tot_1 = cross(s_ass_1,m1*v_ass_1)+cross(s_ass_2,m2*v_ass_2)
%% modo 2 senza t. koenig
%Provo a fare singolarmente tutte le coppie di prodotti vettoriali
A=cross(sr_1,m1*vr_1);
B=cross(sr_2,m2*vr_2);
C=cross(s_cm,m1*vr_1);
D=cross(s_cm,m2*vr_2);
E=cross(sr_1,m1*v_cm);
F=cross(sr_2,m2*v_cm);
G=cross(s_cm,m1*v_cm);
H=cross(s_cm,m2*v_cm);
l_tot_2 = A+B+C+D+E+F+G+H %neanche questo conto torna
%% modo 3 senza t. koenig
%Provo a raggruppare diversamente i calcoli
l_ass_1 = m1*(cross(s_cm,v_cm)+cross(s_cm,vr_1)+cross(sr_1,v_cm)+cross(sr_1,vr_1));
l_ass_2 = m2*(cross(s_cm,v_cm)+cross(s_cm,vr_2)+cross(sr_2,v_cm)+cross(sr_2,vr_2));
l_tot_3 = l_ass_1+l_ass_2 %neanche questo conto torna
%se si tolgono le 2 componenti sotto l_tot_3 torna, ma queste componenti
%dovrebbero essere 0 e invece la seconda fa [0 0 30]
%cross(s_cm,m1*vr_1)
%cross(s_cm,m2*vr_2)