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Verifica pratica 1° teorema di Koenig

Leggi e teorie della fisica

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[1] Verifica pratica 1° teorema di Koenig

Messaggioda Foto UtenteFrenzi » 18 ago 2020, 18:32

Ciao a tutti, per verificare numericamente il 1° teorema di Koenig ho deciso di provare a "costruirmi" un esempio numerico con un sistema formato da 2 punti materiali.
Quello che volevo arrivare a concludere è che:

\overline{l_o}= \overline{l_{cm}}+\sum_{j=1}^n \overline{l'_j}   \equiv    \sum_{j=1}^n \overline{l_j}
Dove:
\overline{l_o} momento angolare totale del sistema materiale rispetto al polo O
\overline{l_{cm}} momento angolare ("assoluto") del centro di massa rispetto ad O
\overline{l'_j} momento angolare ("relativo") del j-esimo punto materiale rispetto al centro di massa
\overline{l_j} momento angolare ("assoluto") del j-esimo punto materiale rispetto al polo O

ovvero che il postulato del 1°teorema di Koenig (il momento angolare totale di un sistema è dato dalla somma del momento angolare assoluto del centro di massa e dalla somma dei momenti angolari relativi rispetto al centro di massa) equivale a fare la somma di tutti i momenti angolari assoluti

Il generico momento angolare (o momento della quantità di moto) viene calcolato come prodotto vettoriale tra posizione e prodotto di massa per velocità:
\overline{l_k}=\overline{s_k}\wedge (m_k*\overline{v_k}) dove s è lo spostamento, m è la massa e v la velocità; la formula precedente diventa quindi:

\overline{l_o}= \overline{s_{cm}}\wedge(m_{tot}*\overline{v_{cm}}) +\sum_{j=1}^n \overline{s'_j}\wedge(m_j*\overline{v'_j})  \equiv    \sum_{j=1}^n \overline{s_j}\wedge(m_j*\overline{v_j})

Il sistema materiale che ho "inventato" è in allegato;
considerando ogni vettore nelle sue componenti x,y,z ( \overline{v}=\begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{bmatrix}) i dati risultano essere:
\overline{s_{cm}}=\begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} m
\overline{s'_1}=\begin{bmatrix} -1 \\ \sqrt{3} \\ 0 \end{bmatrix} m
\overline{s'_2}=\begin{bmatrix} 0.75 \\ (-3\sqrt{3})/4 \\ 0 \end{bmatrix} m
\overline{v'_1}=\begin{bmatrix} -1.5 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} m/s
\overline{v'_2}=\begin{bmatrix} \sqrt{3}/2 \\ 1/2 \\ 0 \end{bmatrix} m/s
\overline{v_{cm}}=\begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix} m/s

(dato che prima ho fatto il disegno e poi ho inserito i dati, le masse le ho calcolate in modo che il centro di massa fosse nel punto desisderato)
m_1=11.25 kg
m_2=15 kg

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

eseguendo il calcolo secondo la formulazione del 1° teorema di Koenig risulta quindi:
\overline{l_o}= \overline{s_{cm}}\wedge(m_{tot}*\overline{v_{cm}}) +\sum_{j=1}^n \overline{s'_j}\wedge(m_j*\overline{v'_j}) =
=\begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \wedge((11.25+15)*\begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix} )+\begin{bmatrix} -1 \\ \sqrt{3} \\ 0 \end{bmatrix} \wedge(11.25*\begin{bmatrix} -1.5 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} )+
+\begin{bmatrix} 0.75 \\ (-3\sqrt{3})/4 \\ 0 \end{bmatrix}\wedge(15*\begin{bmatrix} \sqrt{3}/2 \\ 1/2 \\ 0 \end{bmatrix} )=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 366,73 \end{bmatrix} m^2*kg/s

(Il risultato l'ho calcolato a mano facendo i determinanti, con la calcolatrice e con Matlab e torna sempre)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Adesso calcolo il momento angolare complessivo senza il teorema di Koenig che deve risultare uguale a quello appena calcolato:

Calcolo prima gli spostamenti e le velocità assolute:
\overline{s_1}=\overline{s_{cm}}+\overline{s'_1} = \begin{bmatrix} 3 \\ \sqrt{3} \\ 0 \end{bmatrix}  m
\overline{s_2}=\overline{s_{cm}}+\overline{s'_2} = \begin{bmatrix} 4.75 \\ (-3*\sqrt{3})/4 \\ 0 \end{bmatrix}  m
\overline{v_1}=\overline{v_{cm}}+\overline{v'_1} = \begin{bmatrix} -1.5 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}  m/s
\overline{v_2}=\overline{v_{cm}}+\overline{v'_2} = \begin{bmatrix} \sqrt{3}/2 \\ 3.5 \\ 0 \end{bmatrix}  m/s

dopodichè eseguo il calcolo:
\overline{l_o}=\sum_{j=1}^n \overline{s_j}\wedge(m_j*\overline{v_j})=
=\begin{bmatrix} 3 \\ \sqrt{3} \\ 0 \end{bmatrix}\wedge(11.25*\begin{bmatrix} -1.5 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}  )+\begin{bmatrix} 4.75 \\ (-3*\sqrt{3})/4 \\ 0 \end{bmatrix}\wedge(15* \begin{bmatrix} \sqrt{3}/2 \\ 3.5 \\ 0 \end{bmatrix})= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 396.73 \end{bmatrix} m^2*kg/s


I 2 risultati non coincidono (c'è una discrepanza di 30 tra i 2 valori ... 366.73 contro 396.73) e non riesco a capire cosa non torni.. ho provato anche a cambiare le procedure di calcolo ma i risultati rimangono sempre questi. Qualcuno saprebbe aiutarmi? Grazie e scusate il papiro

P.s.1 è possibile che il sistema che mi sono inventato infranga le condizioni iniziali per cui le formule che ho scritto sopra sono vere o che alcuni valori per forza correlati non rispettino le leggi che li correlano? Ci ho ragionato molto e mi sembra che sia tutto ok da questo punto di vista


P.s.2 questo è il listato matlab che ho utilizzato per il calcolo (oltre ad aver controllato tutto con la calcolatrice a mano, ottenendo gli stessi risultati)
Codice: Seleziona tutto
%% VERIFICA 1° TEOREMA DI KOENIG

s_cm = [4;0;0]                 %poszione centro di massa [m]
sr_1 = [-1;sqrt(3);0]          %posiz. rel. del punto 1 rispetto al CM [m]
sr_2 = [0.75;(-3*sqrt(3))/4;0] %posiz. rel. del punto 2 rispetto al CM [m]               

m1 =11.25 %[kg]
m2=15 %[kg]
m_tot = m1+m2  %[kg]

v_cm=[0;3;0]                   %velocità assoluta CM [m/s]
vr_1 = [-1.5;0;0]              %v. rel. punto 1 rispetto a CM [m/s]
vr_2 = [sqrt(3)/2;0.5;0]       %v. rel. punto 2 rispetto a CM [m/s]


%% Momento angolare totale con 1° teorema di Koenig
%l_tot = l_cm_ass + sum(l_rel_i)
l_tot_koenig = cross(s_cm,m_tot*v_cm)+cross(sr_1,m1*vr_1)+cross(sr_2,m2*vr_2)

%% Momento angolare totale con "momenti assoluti"
%% modo 1 senza t. koenig
s_ass_1 = s_cm+sr_1      %spostamento assoluto del punto 1 [m]
s_ass_2 = s_cm+sr_2      %spostamento assoluto del punto 2 [m]
v_ass_1 = v_cm+vr_1      %velocità assoluta del punto 1    [m/s]
v_ass_2 = v_cm+vr_2      %velocità assoluta del punto 2    [m/s]

%questo conto non torna
l_tot_1 = cross(s_ass_1,m1*v_ass_1)+cross(s_ass_2,m2*v_ass_2)

%% modo 2 senza t. koenig
%Provo a fare singolarmente tutte le coppie di prodotti vettoriali
A=cross(sr_1,m1*vr_1);
B=cross(sr_2,m2*vr_2);
C=cross(s_cm,m1*vr_1);
D=cross(s_cm,m2*vr_2);
E=cross(sr_1,m1*v_cm);
F=cross(sr_2,m2*v_cm);
G=cross(s_cm,m1*v_cm);
H=cross(s_cm,m2*v_cm);
l_tot_2 = A+B+C+D+E+F+G+H  %neanche questo conto torna

%% modo 3 senza t. koenig
%Provo a raggruppare diversamente i calcoli
l_ass_1 = m1*(cross(s_cm,v_cm)+cross(s_cm,vr_1)+cross(sr_1,v_cm)+cross(sr_1,vr_1));
l_ass_2 = m2*(cross(s_cm,v_cm)+cross(s_cm,vr_2)+cross(sr_2,v_cm)+cross(sr_2,vr_2));
l_tot_3 = l_ass_1+l_ass_2 %neanche questo conto torna

%se si tolgono le 2 componenti sotto l_tot_3 torna, ma queste componenti
%dovrebbero essere 0 e invece la seconda fa [0 0 30]
%cross(s_cm,m1*vr_1)
%cross(s_cm,m2*vr_2)

Allegati
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[2] Re: Verifica pratica 1° teorema di Koenig

Messaggioda Foto UtenteSimona99 » 23 ago 2020, 14:34

Ciao,
Premesso che in fisica 1 sono un po'arrugginita però volevo fare un'osservazione sulle velocità dei corpi che magari può esserti utile.
Nel sistema di riferimento degli assi tu hai detto che
S1=[3;radical3;0] S2=[4.75;-3radical3/4;0] e con questi dati trovi che effettivamente il tuo centro di massa ha coordinate [4;0;0]; le velocità delle tue masse hai scritto essere v1=[-1.5;3;0] v2=[radical3/2;3.5;0] concentriamoci sulle velocità lungo l'asse x, dopo un secondo le tue masse avranno una nuova posizione sull'asse x in particolare x1=1.5 X2=5.6 se provi a calcolare adesso la coordinata x del centro di massa vedrai che non é più 4, ma circa 3.8, questo vuol dire che si é spostato e la sua velocità lungo x é diversa da 0 a differenza di quello che hai imposto tu.

P.s scusa se non ti ho scritto in Latex le formule, ma sono qui da poco e non ho ancora imparato
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[3] Re: Verifica pratica 1° teorema di Koenig

Messaggioda Foto UtenteFrenzi » 23 ago 2020, 22:15

Su quello siamo d'accordo, ma a me NON interessa l'evoluzione temporale (quindi la variabilità nel tempo) delle velocità ne del momento angolare ("sintomo" che al sistema sono applicati dei momenti esterni in accordo con il 2° principio della dinamica "riscritto" per il momento angolare), ma che istante per istante comunque si calcoli il momento angolare (con "formula assoluta" o con 1° teor. di Koenig) il risultato deve coincidere altrimenti significa o che ci sono degli errori nel calcolo o degli errori nelle assunzioni fatte prima di eseguirlo.

P.s: il centro di massa ha una posizione variabile dato che il sistema materiale in questo caso non è un corpo rigido (in cui le distanze tra tutti i punti appartenti al corpo rimangono invariate) e ciascun punto è soggetto a vettori velocità differenti
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[4] Re: Verifica pratica 1° teorema di Koenig

Messaggioda Foto UtenteSimona99 » 23 ago 2020, 23:01

Perdona l'insistenza, al di là dell'evoluzione temporale che può avere il sistema, quello che volevo mettere in luce é che almeno sulla coordinata x per come sono state scelte le velocità delle masse il tuo centro di massa ha una velocità diversa da 0, mentre tu l'hai assunta uguale a zero, e credo che sia un qualcosa da considerare visto che comunque é un dato che utilizzi nei calcoli.
Ripeto era solo un'osservazione e non voleva essere certo la risposta definitiva alla tua domanda
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[5] Re: Verifica pratica 1° teorema di Koenig

Messaggioda Foto UtenteFrenzi » 25 ago 2020, 2:13

Invece ti ringrazio tantissimo perché hai scovato l'errore. Cercando di fare un esempio più generico possibile ho completamente perso di vista che la velocità del centro di massa non può essere assunta arbitrariamente ma è ovviamente correlata alle velocità dei punti materiali che compongono il sistema: derivando nel tempo la posizione del centro di massa si ottiene infatti:
\overline{v_{cm}}=\sum_{j=1}^n (\overline{v_j} m_j)/m_{tot} dove v_j è la velocità assoluta del j-esimo punto materiale

Calcolata la velocità del centro di massa si calcolano le velocità relative di ciascun punto
\overline{v'_j}=\overline{v_j}-\overline{v_{cm}}

e si applica quindi il 1° teorema di Koenig. Calcolando il momento angolare senza il teorema i 2 risultati finalmente coincidono.

Grazie per avermi fatto osservare questa stupida incongruenza, avevo proprio perso di vista questo legame. Saluti :-)
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