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da **Ianero** » 4 nov 2020, 18:04

E' noto* che la direttività di un array di antenne, quando le eccitazioni relative dei singoli elementi radianti sono quelle che producono un pattern somma alla Chebyshev, la direttività assume la seguente espressione matematica:

$D=\frac{2N+1}{1+\frac{2}{b^2}\sum_{p=1}^N \left[T_{2N} \left(u_0\cos\frac{p\pi}{2N+1}\right)\right]^2}$

dove

è naturale ( 2N+1

è il numero di elementi), $u_0\geq 1$ e tale che $T_{2N}(u_0)=b$ ( $T_{2N}$ è il polinomio di Chebyshev di ordine

).
Nello stesso articolo l'autore afferma che per $N\to\infty$ l'espressione sopra ha limite, pari a 2b^2

.
Ciò non mi sembra essere vero già nel caso semplice in cui u_0=1

. Considerando infatti proprio questa situazione, l'espressione della direttività si può riscrivere come:

$D=\frac{2+1/N}{\frac{1}{N}+\frac{1}{b^2}\left\{ 1+\frac{\sum_{p=1}^N \cos\left[4N\cos^{-1} \left(1\cdot\cos\frac{p\pi}{2N+1}\right)\right]}{N}\right\}}$

pertanto, se deve essere vero quello che dice l'autore, deve essere per forza vero che:

$\lim_{N\to\infty}\frac{\sum_{p=1}^N \cos\left[4N\cos^{-1} \left(1\cdot \cos\frac{p\pi}{2N+1}\right)\right]}{N}=0$

cosa ovviamente falsa, in quanto quel limite fa 1 e non 0.
EDIT: Vedere messaggio [5].

[*] Beamwidth and directivity of large scanning arrays, First of two parts, R. S. Elliott

da **lemure64** » 4 nov 2020, 19:17

Giusto per curiosità (perché farlo a mano ci metterei una settimana) ho scaricato l'articolo: è la prima volta che non trovo una formula citata, il tipo di contenuto è veramente tutto "machinery" che in italiano non ha quasi equivalente. Insomma, qual è la formula nel testo?

da **Ianero** » 4 nov 2020, 20:48

La formula nell'articolo è la (28), riarrangiata tenendo conto della formula non numerata che si trova tra la (19) e la (20).

da **lemure64** » 4 nov 2020, 22:10

Grazie! Ora che lo so è ovvio, ma non so se ci sarei mai arrivato da solo. Posso solo seguire; a questo punto sono curioso e oltretutto è un'occasione per ripassare!

da **Ianero** » 7 nov 2020, 16:48

Lo sai

lemure64 alla fine ho capito il problema, avevo concluso che quel limite facesse 1 perché non ero stato sufficientemente attento nel notare che i singoli addendi della sommatoria dipendono, oltre che da

, anche da

stesso.
Ecco un grafico dell'operando dell'ultimo limite, per

fino a 100:

: graph.jpg (6.3 KiB) Osservato 14116 volte

da **lemure64** » 7 nov 2020, 18:21

Io ancora non ero arrivato all'espansione della (28), se mai era lei, complimenti!!! E' un bell'osso duro e ne sei venuto a capo.

da **Ianero** » 8 nov 2020, 11:56

Avrei un'altra domanda, penso ancora più semplice ma mi sa che mi sto rimbambendo :cry:

Nello stesso articolo, Appendice A, l'autore parte dalla seguente espressione (non importa da dove viene, prendiamola come una espressione algebrica stupida):

$\frac{\sin\left [ \left ( 2N+1 \right ) u_0\right ]}{\sin(u_0)}\sum_{p=-P}^Pa_p\cos(p\pi)\left [\frac{\sin(u_0)}{\sin(u_p)} -1+1 \right ]$

dove $a_p=a_{-p}$ ,

naturale e $u_p=\frac{\pi L}{(N+1)\lambda}\left(\cos \theta'-\cos\theta_0+\frac{p\lambda}{L}\right)$ (in cui $L,\lambda >0$ e $0\leq \theta',\theta_0\leq \pi$ ), e dice che la possiamo approssimare in questo modo:

$( 2N+1)\frac{\sin\left [ \left ( 2N+1 \right ) u_0\right ]}{( 2N+1)u_0}\left \{ a_0+\sum_{p=1}^P2a_p\cos(p\pi) \right \} -$
$- ( 2N+1)\frac{\sin\left [ \left ( 2N+1 \right ) u_0\right ]}{( 2N+1)u_0}\sum_{p=1}^P2a_p\cos(p\pi)\frac{p^2}{p^2-K^2}$

dove $K=\frac{L}{\lambda}\left(\cos\theta'-\cos\theta_0\right)$ , perché " u_0

and

are small and

is a small integer".

Ho provato a rifarlo io, sostituendo $\sin u_p\approx u_p$ , e mi viene fuori la stessa espressione, con l'unica differenza che io ho il fattore $\frac{p}{p+K}$ anziché il suo $\frac{p^2}{p^2-K^2}$ .

Che mi sto perdendo?

da **Ianero** » 10 nov 2020, 22:26

Aggiungo ancora un dubbio, poi ci rinuncio a capirci qualcosa :-)

Ci sto provando da più di un giorno, ma non vedo la luce: in generale (non solo nel caso fin qui considerato di u_0=1

) come potrei far vedere che questo limite:

$\lim_{N\to\infty}\frac{\sum_{p=1}^N T_{4N} \left(u_0\cdot \cos\frac{p\pi}{2N+1}\right)}{N}$

fa 0 :?:

Ho provato a scrivere $T_{4N}$ come polinomio e ad espandere in serie i termini $\cos^k$ , tentando di raggiungere una serie geometrica che mi semplificasse tutto a catena, ma resta comunque un inferno.

da **Frenzi** » 11 nov 2020, 3:43

Premetto che non conosco assolutamente l'argomento ne i polinomi di Čebyšëv, ma guardandoli su wikipedia credo di aver capito come sono fatti... se non ho capito male in questo caso tu hai a numeratore la somma dei polinomi di Čebyšëv di ordine 4*N nella variabile u0*cos(...); secondo me tutto sta nel fatto che hai N a denominatore del coseno; se N va a infinito, tutti i coseni avranno come argomento 0 (tranne nel caso in cui p=N per cui N/N =1), quindi bene o male quel coseno ti darà sempre cos(0) = 1, quindi per quanto arrivi alto di ordine il tuo polinomio a numeratore (che se non ho capito male come funziona arriverebbe a ordine infinito per N->infinito) , essendo l'argomento del polinomio u0*1 , ti trovi con uno "sviluppo" di termini che "arriva" ad u0^infinito , che però è effettivamente più grande dell'infinito "semplice" che hai al denominatore, quindi il mio ragionamento non funziona #-o

Penso che il modo giusto possa essere di dimostrare che la serie a numeratore converge; in questo modo avendo a denominatore un infinito te la butta a 0. Ti lascio lo stesso il mio ragionamento bacato che non funziona, magari ci vedi dentro qualcosa che ti può interessare; altrimenti considera il messaggio come spazzatura O_/

P.s. se ho detto un mucchio di cavolate non perdere tempo a rispondermi perché mi mancano delle basi su quel polinomio... ho provato solo a darti un'idea

da **Ianero** » 11 nov 2020, 22:17

Frenzi ha scritto:hai N a denominatore del coseno; se N va a infinito, tutti i coseni avranno come argomento 0 (tranne nel caso in cui p=N per cui N/N =1)

Questo purtroppo non è vero, basta pensare a p=N-1

.

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