Routh e molteplicità unitaria

[robdl]

Salve

Ho un dubbio riguardo un esercizio.
Ho questo polinomio: P(s)=s^3+6s^2+13s+78 ed ho applicato Routh per studiare la stabilità del sistema.

Durante lo svolgimento, avviene una singolarità di Routh e, analizzando il polinomio ausiliario P2(s)=6s^2+78 che derivando rispetto ad "s", diventa P'2(s)=12s, esce questa tabella:

3| 1 13
2| 6 78
1| 12
0| 78

Dalla teoria, scrivo che:
Dalla tabella ottenuta, nella prima parte della tabella (riga 3 e 2) si può osservare che non ci sono variazioni di segno ma solo permanenze, per cui si ha soltanto una radice a parte reale negativa, invece, nella seconda parte della tabella (riga 1 e 0), non si hanno radici a parte reale positiva in quanto non ci sono variazioni e per simmetria quadrantale non si hanno nemmeno radici a parte reale negative;
Le restanti radici, necessarie ad eguagliare il grado del polinomio, saranno a parte reale nulla con molteplicità unitaria.

La mia domanda è: di quest'ultima frase che ho contrassegnato in corsivo, come ne spiego il perché? ho visto di tutto e di più, ma non ho trovato una risposta, quindi vi chiedo gentilmente di aiutarmi.

Ho trovato delle possibili soluzioni, che elenco:
1. Dimostro che le radici di P2(s) sono complesse-coniugate, con parte reale nulla, semplicemente andando a risolverlo matematicamente, essendo una "banale" equazione di secondo grado; in questo modo si scopre che sono due radici a molteplicità unitaria;
2. Aggiungo, al punto 1, la possibilità di rappresentare, su un piano complesso, le due soluzioni, dimostrando graficamente che sono distinte e a molteplicità unitaria;
3. P2(s) è un polinomio le cui radici sono disposte secondo la proprietà di simmetria quadrantale, ovvero disposte simmetricamente rispetto all'origine del piano complesso. C'è quindi una simmetria rispetto all'asse reale.

Grazie mille

[GioArca67]

Ok.
Hai trovato una singolarità del criterio, quindi esamini il polinomio ausiliario, che è sempre di grado pari e con soli termini di grado pari.
Supponiamo che la questione sia relativa al caso specifico in esame (per il caso generale non si può infatti dire nulla sulla molteplicità).

Poiché il grado del polinomio ausiliario è 2 esso avrà 2 sole radici.
Facendo la trasformazione generica s²=t il polinomio in t ha una sola radice (essendo di grado 1) che sarà o positiva o negativa (chiamiamola tr)!

Se la radice tr è negativa hai ovviamente s²=- |tr| quindi il polinomio in s non potrà che avere 2 radici complesse coniugate ed essendo le sole presenti non possono che avere ciascuna molteplicità unitaria essendo distinte.

Se la radice tr è positiva hai ovviamente s²= |tr| quindi il polinomio in s non potrà che avere 2 radici reali (una positiva e l'altra negativa visto che "b" è zero) ed essendo le sole presenti non possono che avere ciascuna molteplicità unitaria essendo distinte.

[g.schgor]

[GioArca67]

Ottimo!
Verifica che il criterio di Routh funziona:
Nessuna alternanza nelle prime 2 righe -> radice a parte reale negativa
Polinomio ausiliario 6s²+78 -> (s²=t) -> 6t+78=0 -> t=-13 -> s12 = ±j√13=±3,60555j -> 2 radici complesse coniugate a parte reale nulla!

[GioArca67]

Applichiamo Ruffini (sappiamo che una radice è j√13)

1 6 13 78
j√13 j√13 6j√13-13 -78
1 6+j√13 6j√13 0

Che l'altra è -j√13
1 6+j√13 6j√13
-j√13 -j√13 -6j√13
1 6 0

Abbiamo s+6=0 -> s3=-6

Torna!

[GioArca67]

Che monnezza che è venuta la tabella

Codice: Seleziona tutto

          1        6      13           78
j√13             j√13     6j√13-13    -78
          1      6+j√13   6j√13         0


            1       6+j√13    6j√13
-j√13                -j√13   -6j√13
            1       6          0


Ma si possono inserire tabelle?

[PietroBaima]

Ma si possono inserire tabelle?

Codice: Seleziona tutto

\begin{array}{ccc|cc} A & B & C & E & D \\
\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1
\end{array}

[GioArca67]

Grazie

[robdl]

Va benissimo, vi ringrazio per le risposte.

Una sola curiosità: da questo PDF (http://www1.unipa.it/alonge/elementi%20 ... bilita.pdf), a pagina 16 leggo questo:

-se il numero complessivo di variazioni di segno è pari a zero, p(s) ha zeri sull’asse
immaginario;
-l’ordine massimo della molteplicità degli zeri sull’asse immaginario di p(s), è uguale
al numero di righe nulle incontrate nella costruzione dello schema di Routh.

Quindi, interpretando questa teoria, avendo io - nel mio caso postato - zero variazioni di segno (nella seconda parte della tabella) ho quindi zeri sull'asse immaginario, ed essendo comparsa UNA sola riga nulla (da cui poi è scaturita la singolarità), ho molteplicità unitaria.

Può risultare utile (e giusta) anche questa soluzione?
ps: il PDF sopra riportato, è dell'Università degli Studi di Palermo.