ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **gekofive** » 7 ott 2023, 13:31

Volevo proporre la soluzione del quiz #5 della serie Thursday Analog Quiz segnalata da @IsidoroKZ.
Riporto il testo in originale:

Lo smart trick al quale fanno riferimento è quello di considerare solo il primo degli elementi (quello più a sinistra) e di immaginarlo connesso a una sola resistenza dello stesso valore della resistenza equivalente.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Svolgendo

$R_{eq}=R+R//R_{eq}=R+\frac{R\cdot R_{eq}}{R+ R_{eq}}=\frac{R^2 +2R \cdot R_{eq}}{R+ R_{eq}}$

$R_{eq}^2-R \cdot R_{eq}-R^2=0$

Da cui l'unica soluzione positiva

$R_{eq}=R \left( \cfrac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2} \right)$

Svolgendo per la seconda domanda si ottiene

$R_{eq}^2-R \cdot R_{eq}-2R^2=0$

Con soluzione

$R_{eq}=2R$

La parte furba del trucco è quella di considerare che con un numero infinito di elementi, la differenza di resistenza equivalente a monte e a valle di un singolo elemento è nulla. Ovviamente il trucco funziona, ma volevo esporre un metodo differente, che non implica trucchi.

Iniziamo con il considerare un solo elemento, che sarà formato solamente dalle due resistenze in serie

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

e calcoliamo la resistenza equivalente come funzione della resistenza di riferimento. Nominiamo questa resistenza R_0

, come prima della serie che andremo a ottenere. Nominiamo con lo stesso indice anche il fattore di proporzionalità k_0

.

$R_0=k_0 \cdot R = 2R$

k_0=2

Aggiungiamo ora (a sinistra), un secondo elemento, e calcoliamo la nuova resistenza equivalente.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Abbiamo ottenuto un nuovo fattore di proporzionalità k_1

.

$R_1 = k_1 \cdot R = R + R//k_0 \cdot R = \cfrac{2k_0+1}{k_0+1}R$

$k_1= \cfrac{2k_0+1}{k_0+1}$

L’aggiunta di un ulteriore elemento non modificherà nulla rispetto a quanto visto ora, quindi possiamo generalizzare la successione dei fattori

scrivendo.

$k_{n+1}= \cfrac{2k_n+1}{k_n+1}$

Facciamo ora alcune considerazioni sul valore assunto da

nella successione appena definita:
1) dato che la resistenza equivalente è certamente compresa tra R e 2R,

è compreso tra 1 e 2;
2) dato che l’aggiunta di elementi alla serie comporta la riduzione della resistenza in parallelo al primo, la successione

è strettamente decrescente.

Le due considerazioni qui sopra non sono sufficienti a assicurare la convergenza della successione, dobbiamo analizzare l’andamento della distanza tra due elementi consecutivi. Nominando $\Delta_n$ questa distanza si ottiene.

$\Delta_n = k_{n+1}-k_n=\cfrac{k_n+1-k_n^2}{k_n+1}$

$\Delta_0 = \cfrac{2+1-4}{2+1}= -\cfrac{1}{3}$

La funzione in

è una parabola con il vertice in alto e nell’intervallo [1, 2] di nostro interesse è strettamente decrescente.

: Plot.PNG (12.29 KiB) Osservato 2966 volte

Il primo degli elementi della successione ( k_0=2

) fornisce per $\Delta_0$ un valore negativo (-1/3), come già sapevamo. La successione può progredire solo verso sinistra e non può superare il punto di ordinata zero perché

deve essere sempre decrescente. Oltre a questo, la successione è destinata a raggiungere quel punto, in quanto strettamente decrescente.

Pertanto, il limite della successione per n tendente a infinito coincide con la soluzione compresa nell’intervallo [1, 2] dell’equazione

k+1-k^2=0

$k=\cfrac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}$

In modo del tutto equivalente si giunge al risultato k=2

se si considerano le due resistenze una di valore R e l'altra di valore 2R.

Nota: La soluzione al primo dei due quesiti è il numero $\Phi$ .

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Thursday Analog Quiz #5

[1] Thursday Analog Quiz #5

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