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da **Ianero** » 7 lug 2024, 17:00

Buonasera a tutti.

Consideriamo una funzione $\phi(x)$ cosiddetta "abbastanza buona", nel senso che sia $\phi(x)$ sia tutte le sue derivate di ogni ordine sono un O(|x|^N)

, per $|x|\to\infty$ , con $N\in\mathbb{N}$ noto.
Consideriamo poi l'integrale:
$\int_{x=-\infty}^\infty \delta(x-t)\phi(x)\mathrm{d}x:=\lim_{n\to\infty}\int_{x=-\infty}^\infty \delta_n(x-t)\phi(x)\mathrm{d}x$

dove $\delta_n(y)=\sqrt{\frac{n}{\pi}}e^{-ny^2}$ (oppure, nel caso possa tornare mai utile, la sua forma equivalente a supporto compatto $\delta_n(y)=\frac{e^{-\frac{1}{1-\left(ny\right)^2}}}{\int_{u=-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}}e^{-\frac{1}{1-\left(nu\right)^2}}\mathrm{d} u}\chi_{\left[-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right]}\left(x\right)$ ).

La mia domanda è: la convergenza del $\lim_{n\to\infty}$ è uniforme rispetto a

, date le ipotesi su $\phi(x)$ ?

La risposta di cui mi sto pian piano convincendo è no, perché sostanzialmente le derivate di $\phi$ possono comunque essere non limitate. Tale limitatezza è infatti ciò che mi sarebbe servito in questo mio tentativo di dimostrazione:

$\left|\int_{x=-\infty}^\infty \delta_n(x-t)\phi(x)\mathrm{d}x-\phi(t)\right|=\left|\int_{x=-\infty}^\infty \delta_n(x-t)(\phi(x)-\phi(t))\mathrm{d}x\right|\leq$
$\int_{x=-\infty}^\infty \delta_n(x-t)|\phi(x)-\phi(t)|\mathrm{d}x\leq \int_{x=-\infty}^\infty \delta_n(x-t)\cdot|\phi'(\xi)|\cdot|x-t|\mathrm{d}x$

dove $\xi$ è un opportuno punto nell'intervallo aperto delimitato da

e

. A questo punto vorrei tanto maggiorare $|\phi'(\xi)|$ con $\sup_{y\in\mathbb{R}}|\phi'(y)|$ per rendere il tutto indipendente da

e concludere, ma non posso.
Non mi pare si possa arginare il problema se non aggiungendo l'ipotesi della limitatezza delle derivate su $\phi$ , è corretto?

Grazie in anticipo.

PS: il problema non mi si risolve nemmeno se uso la versione delle $\delta_n$ a supporto compatto. In quel caso infatti posso certamente maggiorare in modo lecito con $\sup_{y\in (t-1/n,t+1/n)}|\phi'(y)|$ , ma il tutto dipenderebbe comunque da

e non arriverei all'uniforme convergenza.

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Su un'uniforme convergenza

[1] Su un'uniforme convergenza

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