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da **MyShow** » 11 gen 2012, 16:45

DirtyDeeds ha scritto:Non ho fatto nessun passaggio, ti ho dato un suggerimento e aspettavo di vedere come l'avresti svolto

Scusa volevo scrivere: "puoi farmi vedere che passaggi faresti?"
mi dispiace :oops:

è che non riuscivo a capire come approcciare il problema, purtroppo alcune cose non riesco a vederle chiaramente subito comunque adesso provo a risolvere il problema cercando di capire bene i passaggi che mi hai suggerito.
Se qualcosa non mi è chiaro tornerò a rompere le scatole ancora un po' :-P

Grazie

DirtyDeeds a prestissimo!

da **MyShow** » 11 gen 2012, 18:48

Credo di aver capito diverse cose altre invece, vista la mia ignoranza, non riesco a capirle:
esiste un fascio di piani (passanti per l'origine degli assi) equipotenziali(DA CUI LA NON DIPENDENZA DA R DEL POTENZIALE) quindi il potenziale dipende solo da $\Phi$ è per questo che conviene usare il laplaciano di V in coordinate cilindriche dove resta solo:
$\frac {1}{r^2}$ $\frac {\partial^2 V}{\partial \Phi^2} = 0$

Qui arriva il mio problema (che credo derivi dalla mia ignoranza in matematica): perché posso dire che $V\left (r,\Phi\right) = V_1\left(r\right) V_2\left(\Phi\right)$ ovvero perché posso separare le variabili? inoltre perché $V_1\left(r\right) =V_0$ ? a questo punto non posso scrivere direttamente:

$\frac {1}{r^2}$ $\frac {\partial^2 V_2}{\partial \Phi^2} = 0$ ?

da **DirtyDeeds** » 11 gen 2012, 20:03

Non usare $\Phi$ per la coordinata angolare, normalmente si usa $\theta$ o $\varphi$ , e in questo caso ho preferito usare $\theta$ per l'angolo perché in elettrostatica $\varphi$ è più usato per il potenziale.

MyShow ha scritto:esiste un fascio di piani (passanti per l'origine degli assi) equipotenziali(DA CUI LA NON DIPENDENZA DA R DEL POTENZIALE)

Sì, ma questo uno lo scopre solo dopo aver risolto l'equazione, prima lo può solo intuire.

MyShow ha scritto:perché posso dire che $V\left (r,\Phi\right) = V_1\left(r\right) V_2\left(\Phi\right)$ ovvero perché posso separare le variabili?

Non puoi, infatti :roll:

Come direbbe Nanni Moretti, le parole sono importanti, e io ho scritto Assumiamo che.... Quindi ciò che ho fatto è ipotizzare, supporre ecc. che la soluzione fosse di quel tipo: che lo sia veramente uno lo verifica a posteriori, andando a vedere che si riesca a trovare una soluzione dell'equazione di Laplace in quella forma soddisfacente alle condizioni al contorno date. Una posizione di questo tipo, da verificarsi a posteriori, in fisica viene chiamata ansatz. In inglese si potrebbe anche dire che è una educated guess: l'intuizione fisica ci dice che la soluzione potrebbe essere di quel tipo, poi lo verifichiamo.

MyShow ha scritto: inoltre perché $V_1\left(r\right) =V_0$ ?

Io ho scritto che si deve avere $\chi(r) = \text{costante}$ (o $V_1(r) = \text{costante}$ nella tua notazione), e in questo caso una costante vale l'altra: le due funzioni $\chi(r)$ e $\psi(\theta)$ sono infatti definite a meno di una costante moltiplicativa perché $\varphi(r,\theta)=\chi(r)\psi(\theta)$ è invariante per la trasformazione

$\begin{align} &\chi(r)\mapsto \chi^\prime(r) = k\chi(r) \\ &\psi(\theta)\mapsto \psi^\prime(\theta) = \frac{1}{k}\psi(\theta) \end{align}$

Per questo motivo, invece di prendere una costante qualunque, io ho preso $\chi(r) = V_0$ . Se leggi bene, infatti, in [10] ho scritto Possiamo imporre...

MyShow ha scritto:a questo punto non posso scrivere direttamente:

No, quell'equazione viene fuori solo sostituendo la soluzione ipotizzata.

Poiché alla fine siamo riusciti a trovare una soluzione dell'equazione di Laplace che verifica le condizioni al contorno (prima di poter dire ciò, però, devi trovare le costanti di integrazione A e B), possiamo dire che l'ansatz è accettabile (nell'ipotesi che la soluzione sia unica, ovviamente).

da **MyShow** » 12 gen 2012, 10:38

Grazie

DirtyDeeds adesso le cose sono decisamente più chiare spero un giorno di riuscire anche io a vedere queste cose in maniera più immediata ;-)

ancora grazie e a presto O_/

da **RenzoDF** » 15 gen 2012, 11:00

Vedendoti online ti chiedo di completare il calcolo; i discorsi lasciati a meta' non mi piacciono ;-)

da **MyShow** » 15 gen 2012, 11:01

Mi metto subito all'opera!

da **DirtyDeeds** » 15 gen 2012, 11:19

Un altro conto che potresti fare è questo: scrivi l'equazione di Laplace in coordinate cartesiane e assumi una soluzione a variabili separate rispetto alle coordinate cartesiane, $\varphi(x,y) = V_0\psi_x(x)\psi_y(y)$ . Riesci a trovare $\psi_x(x)$ e $\psi_y(y)$ in modo da soddisfare le condizioni al contorno?

da **MyShow** » 15 gen 2012, 12:08

Eravamo rimasti qui:

$\frac {V_0}{r^2} \frac {\partial ^2 V(\phi)}{\partial \phi ^2}= 0$

Da cui $\frac {d ^2 V(\phi)}{d \phi ^2}= 0$

Applico la trasformata di Laplace:

s^2 V(s) - sV_0+E_0 =0

da cui $V(s)=\frac {V_0}{s}-\frac {E_0}{s^2}$
Antitrasformando
$V(\phi)= V_0-E_0 \phi$ e dalle condizioni al contorno $V(\frac {\pi}{2}) =V_0-E_0 \frac {\pi}{2}=0$ da cui $E_0 =\frac {2V_0}{\pi}$

Per quello che mi ha chiesto

DirtyDeeds
$\nabla^2 V =0$

$\frac {\partial ^2 [V_0 V_x(x) V_y(y)]}{\partial x^2}+ \frac {\partial ^2 [V_0 V_x(x) V_y(y)]}{\partial y^2}=0$

$V_0 \left [ V_y \frac {d^2 V_x}{dx^2} +V_x \frac {d^2 V_y}{dy^2} \right ]=0$

Qui .... :oops:

mi fermo.... :oops:

non so se ti riferisci a questo ma le mie limitatissime conoscenze matematiche mi permettono di arrivare solo fino a qui...

Scusate se ci ho messo una vita ma sono davvero lento!!!

da **DirtyDeeds** » 15 gen 2012, 12:14

La trasformata di Laplace?! Per risolvere l'equazione

$\frac {\text{d} ^2 V(\phi)}{\text{d} \phi ^2}= 0$ :?:

da **MyShow** » 15 gen 2012, 12:16

mi piace usare Laplace....

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