Operatore Laplaciano e autofunzioni.

[Gia1988]

Ciao a tutti, studiando modelli matematici mi sono imbattuto nell' operatore Laplaciano.
Di tale operatore sono stati ricavati autofunzioni e auto valori risolvendo il problema agli autovalori o con il metodo di separazione delle variabili.

Mettiamoci per semplicità in una dimensione.
Le auto funzioni sono:



Ora a seconda del dominio dell' operatore e delle condizioni agli estremi trovo una o l altra autofunzione (giusto?)

Esempio:
se il dominio è con condizioni nulle agli estremi le auto funzioni sono


Arriviamo alla domanda:
Non voglio una spiegazione matematica ma abbastanza intuitiva ed elementare sul perché si determinano le autofunzioni degli operatori? E come mai se cambio dominio le autofunzioni cambiano ??

Grazie mille :)

[spud]

Ciao, premetto di non essere un mostro in matematica, non cacciatemi dal forum se scrivo una cavolata.

Si determinano le autofunzioni degli operatori perché sono comode per capire come si comportano le soluzioni delle equazioni differenziali senza dover necessariamente risolvere l'equazione; è l'equivalente di trovare gli autovettori di un sistema dinamico per dedurre i modi di evoluzione.

In realtà si trovano le soluzioni relative ad un certo problema (eq differenziale + eventualmente condizioni al contoro + eventualmente condizioni iniziali) e non solo a un equazione differenziale, quindi è le autofunzioni cambino a seconda delle condizioni iniziali o al contorno che si pongono in modo che le soluzioni dell'equazione possano rispettarle.