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da **lionell88** » 16 mar 2012, 17:31

Salve a tutti. Rieccomi dopo tanto tempo! Ho la seguente eguaglianza ma non riesco a dimostrarla! Chi mi aiuta? Non vorrei mica finire per impararla a memoria

$|\frac{exp(jN(u+u_0))-1}{exp(j(u+u_0))-1}|=| \frac{sin(N\frac{u+u_0}{2})}{sin(\frac{u+u_0}{2})}|$

Ho provato e riprovato ad utilizzare le formule di Eulero ma non ci arrivo!
Grazie a tutti

da **carloc** » 16 mar 2012, 18:45

Direi una bella dimostrazione straight-forward

c'è solo da applicare la definizione di modulo...e che il modulo di un rapporto è equivalente al rapporto dei moduli ;-)

prendo la generica funzione...
$c=e^{\text{j}x}-1=\cos x +\text{j}\sin x -1$

e ne faccio il modulo (al quadrato)...
$|c|^2=c\,c^{*}=\left(\cos x +\text{j}\sin x -1\right)\left(\cos x -\text{j}\sin x -1\right)=$
$=\cos^2 x -\text{j}\cos x \sin x -\cos x +\text{j}\cos x \sin x + \sin^2 x-\text{j}\sin x -\cos x +\text{j}\sin x +1 \right)=$
$=2\left(1-\cos x\right)=4\sin^2\frac{x}{2}$

Ma si voleva il modulo, non il suo quadrato...
$|c|=2|\sin \frac{x}{2}|$
con il valore assoluto chè il modulo è definito positivo ;-)

...

..si applica al numeratore, al denominatore, si semplificano i due... ed è fatta.

da **RenzoDF** » 16 mar 2012, 19:17

Io la vedrei piu' semplice, ricordando il teorema della corda, non serve praticamente nessun passaggio.

da **DirtyDeeds** » 16 mar 2012, 19:20

Oppure...

$\begin{align} \left|\text{e}^{\text{j}N(u+u_0)}-1\right| &= \left|\text{e}^{\text{j}\frac{N(u+u_0)}{2}}\left(\text{e}^{\text{j}\frac{N(u+u_0)}{2}}-\text{e}^{-\text{j}\frac{N(u+u_0)}{2}}\right)\right| \\ &= \left|\text{e}^{\text{j}\frac{N(u+u_0)}{2}}-\text{e}^{-\text{j}\frac{N(u+u_0)}{2}}\right| \\ & = \left|2\text{j}\displaystyle\frac{\text{e}^{\text{j}\frac{N(u+u_0)}{2}}-\text{e}^{-\text{j}\frac{N(u+u_0)}{2}}}{2\text{j}}\right| \\ &= 2\left|\sin\frac{N(u+u_0)}{2}\right| \end{align}$