Adattatore di impedenza a quarto d'onda

[mctn]

Salve a tutti. Avrei un dubbio riguardante l'adattamento di impedenza su linee di trasmissione.
So che un adattatore di impedenza a quarto d'onda può essere utilizzato per adattare una linea di trasmissione ad un carico, spesso resistivo, dimensionando opportunamente l'impedenza caratteristica dell'adattatore in modo che risulti pari a , dove con indichiamo l'impedenza di ingresso vista ai terminali AA' dell'adattatore.

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Ora, sul mio libro di campi elettromagnetici ("Fondamenti di campi E.M." - F.T. Ulaby) è scritto che l'utilizzo di un tale adattatore "elimina le riflessioni sulla linea di alimentazione, ma non le elimina sulla linea a Tuttavia, dal momento che le linee sono senza perdite, tutta la potenza incidente finirà comunque per essere trasferita al carico ".
L'ultima affermazione mi ha fatto sorgere le seguenti domande:
Se l'adattatore presenta un'impedenza caratteristica , esso non risulterebbe a sua volta "disadattato" rispetto al carico? Ovvero: benchè la riflessione della potenza in ingresso nella sezione AA' venga annullata dalla presenza dell'adattatore a quarto d'onda, nella sezione BB' non viene comunque a crearsi una nuova riflessione di potenza?
perché, invece, non si tiene conto di tale "disadattamento dell'adattatore" ma, come dice il libro, si considera tutta la potenza incidente come potenza fornita interamente al carico?
Grazie.

[IsidoroKZ]

Si`, su BB' c'e` disadattamento, ma e` proprio quello che fa vedere in AA' l'impedenza voluta. Detto in modo che non mi piace, l'onda riflessa viene ri-riflessa tutta verso il carico in AA'.

[DirtyDeeds]

Si può immaginare che nell'adattore a ci sia una successione di riflessioni multiple che interferiscono costruttivamente all'uscita. La cosa si può vedere analiticamente sviluppando in serie il coefficiente di riflessione tra A e A'. Appena riesco provo a postare i conti.

[mctn]

Grazie per le risposte.
Quindi, se ho ben capito, nonostante in BB' vi sia disadattamento ciò non impedisce la trasmissione di tutta la potenza incidente sul carico , ma anzi la favorisce a causa delle riflessioni multiple tra carico e AA'.
Tuttavia, mi rimane ancora qualche dubbio:
se tra carico e sezione AA' avvengono riflessioni multiple di potenza, e la linea è senza perdite, le riflessioni avverranno all'infinito. Ciò come detto è utile a far sì che il coefficiente di riflessione sia nullo su AA', garantendo l'adattamento in tale punto della linea. Ma su BB', per quando detto, si dovrebbe avere . Non ho ben chiaro, quindi, in che modo il carico riesca ad assorbire la potenza incidente, se questa viene ogni volta riflessa tra AA' e BB'.

[DirtyDeeds]

le riflessioni avverranno all'infinito.

Sì

n che modo il carico riesca ad assorbire la potenza incidente, se questa viene ogni volta riflessa tra AA' e BB'.

Non tutta: i due coefficienti di riflessione si assumono minori di 1, altrimenti non c'è verso di fare l'adattamento. Il risultato è una serie convergente

Facciamo una cosa: tu, come esercizio di campi, calcola in funzione di , delle impedenze caratteristiche delle due linee di trasmissione e della lunghezza dell'adattatore; e io ti faccio vedere le riflessioni multiple

[IsidoroKZ]

Ne viene riflessa solo una parte, poi una parte della parte... e` una serie geometrica convergente perche' il coefficiente di riflessione e` in modulo minore di 1.

Supponi che arrivino inizialmente 100W e che il carico ne rifletta indietro meta`: 50W vanno sul carico e 50W tornano indietro.

La potenza riflessa, viene ri-riflessa tutta in avanti, e a questa si aggiunge la potenza che arriva dalla sorgente, sempre 100W: totale alla seconda passata sono 150W che vanno avanti: 75W vanno sul carico, 75W tornano indietro. E come prima vengono ri-riflessi tutti, si aggiungono i 100W dalla sorgente, e hai una potenza incidente di 175W, 87.5W escono, e altrettanti tornano indietro.

Altra ri-riflessione, potenza incidente 187.5W, riflessa 93.75W, al giro dopo la potenza incidente e` di 193.75W, riflessa 96.875W... indovina a che valore converge la potenza incidente e quanta di questa potenza va sul carico?

Questa era la spiegazione al corso dei radioamatori: c'e` molto da ridire, ma se non si vogliono usare formule e pasticci vari, non c'e` molto di meglio.

[mctn]

Questa era la spiegazione al corso dei radioamatori: c'e` molto da ridire, ma se non si vogliono usare formule e pasticci vari, non c'e` molto di meglio.

Esempio comunque utilissimo perché mi ha aiutato a chiarire le idee, grazie mille!

Facciamo una cosa: tu, come esercizio di campi, calcola in funzione di , delle impedenze caratteristiche delle due linee di trasmissione e della lunghezza dell'adattatore; e io ti faccio vedere le riflessioni multiple

Chiamando l'impedenza caratteristica del tratto di linea a monte dell'adattatore, ed essendo quella dell'adattatore a , il coefficiente di riflessione sulla sezione AA' dovrebbe essere:

.

Essendo l'impedenza vista da AA' esprimibile come:

,

si ha:

[DirtyDeeds]

La forma in cui hai espresso non è la migliore per fare uno sviluppo in serie. Conviene seguire un'altra strada. Alla destra di A il coefficiente di riflessione è



con



L'impedenza è quindi



da cui, con facili passaggi (che lascio fare a te ) si può determinare :



con



Ora siamo pronti a sviluppare in serie: poiché , si può scrivere



da cui



(nota che ho scritto le due sommatorie partendo da due indici iniziali diversi)

Tirando fuori dalla prima sommatoria il termine e rinominando il primo indice si ha



Infine, raccogliendo le due sommatorie si ottiene



Domande:

1) Riesci a vedere le riflessioni multiple? In particolare, cosa rappresenta, secondo te, il termine che moltiplica la seconda sommatoria?
2) Cosa capita alla sommatoria in condizioni di adattamento?

NB: se riesci a rispondere alla domanda 1), allora dovresti riuscire a vedere che l'equazione (2) può essere scritta direttamente, per "ispezione" del circuito, senza bisogno di partire dalla (1).

[mctn]

Innanzitutto grazie per la disponibilità e la chiarezza!

Per quanto riguarda :

con

volevo precisare che avendo rifatto il conto, sempre se non ho sbagliato io, dovrebbe essere:



Per quanto riguarda le domande che mi hai posto in relazione alle riflessioni, credo di aver capito. Tuttavia ti chiedo di correggere, eventualmente, le mie risposte.

1) Riesci a vedere le riflessioni multiple?

Sì. Sviluppando la sommatoria per troviamo:



Analizzando i singoli addendi, dovremmo avere che:

rappresenta il coefficiente della riflessione iniziale sulla sezione AA', con una parte di onda riflessa in direzione della linea di alimentazione.

rappresenta il coefficiente di riflessione complessivo dopo che l'onda è stata riflessa sul carico ed è tornata indietro.

rappresenta il coefficiente di riflessione complessivo dopo che l'onda ha subito una seconda riflessione sul carico ed è tornata indietro.

rappresenta il coeff. di riflessione complessivo dopo la terza riflessione dell'onda sul carico ed il ritorno verso AA'.

e così via..

In particolare, cosa rappresenta, secondo te, il termine che moltiplica la seconda sommatoria?

Dovrebbe essere, come ho detto sopra, il coefficiente di riflessione complessivo dopo che l'onda ha subito una seconda riflessione sul carico ed è tornata indietro.
Esso è moltiplicato per la serie che, come hai trovato prima, ha come somma: .

Quindi:

2) Cosa capita alla sommatoria in condizioni di adattamento?

La sommatoria si annulla. Questo, se ho capito bene, significa che l'onda totale riflessa in AA' viene annullata, in quanto l'adattatore di lunghezza ha creato un'onda riflessa capace di annullare l'altra onda riflessa pari alla somma delle infinite riflessioni tra adattatore e carico. L'adattatore dovrebbe fare in modo che risulti: affinchè sia verificata la condizione di adattamento .

Nel caso dell'adattatore a , essendo , si ha che , dunque in condizioni di adattamento si ha .

[DirtyDeeds]

volevo precisare che avendo rifatto il conto, sempre se non ho sbagliato io, dovrebbe essere:

Sì, giusto: ho corretto.

Anche il resto è corretto. L'opposto capita sul carico, dove, in condizioni di adattamento, c'è interferenza costruttiva tra tutte le infinite riflessioni.