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da **dlbp** » 7 set 2012, 16:56

Guarda

matteoDL io sinceramente non mi trovo con l'errore che dici perché alla fine non ho fatto altro che esplicitare quella sommatoria con la serie geometrica seguendo la formula.
La sommatoria iniziale è
$\sum_{k=0}^{N-1} (-e^{-j 2 \pi f \frac{T}{N}})^k$
che secondo la formula :
$\sum_{k=0}^{N-1} x^k=\frac{1-x^N}{1-x}$
diventa:
$\frac{1-(-e^{-j 2 \pi f T})}{1-(-e^{-j 2 \pi f \frac{T}{N}})}$

Non ti trovi?
Ad esempio nella sommatoria iniziale considerando N=1 (quindi abbiamo solo k=0

) la sommatoria sarà uguale ad

. Andando quindi nella sommatoria esplicitata e sostituendo N=1 otteniamo lo stesso risultato.

da **matteoDL** » 7 set 2012, 17:02

Ovviamente si perché 1 è dispari quindi non va a intaccare il segno, ti ho fatto l'esempio con il 2 perché è pari e quindi cambia il segno.
Il problema sta nel passaggio: $(-e^{-j2\pi f\frac{T}{N}})^N&=-e^{-j2\pi fT}$ , mentre da quel che so io dovrebbe essere $(-e^{-j2\pi f\frac{T}{N}})^N&=(-1)^Ne^{-j2\pi fT}$ .
Ti sembra possa avere senso?
Ripeto forse mi sbaglio ma non mi sembra.

Ps:fare un esempio numerico va bene per smentire una teoria, in quanto se non vale per quello non è valida in generale, non per confermarla poiché potrebbe essere solo un caso che il risultato sia lo stesso.

da **dlbp** » 7 set 2012, 17:34

Allora

matteoDL ho provato a vedere cosi:
consideriamo la seguente sommatoria
$\sum_{k=0}^{N-1}(-x)^k$
che è assimilabile alla nostra sommatoria in questione.
Sostituiamo con la serie geometrica ed otteniamo:
$\frac{1-(-x)^N}{1-(-x)}$
Consideriamo x=2

ed N=2.
Dalla prima sommatoria otteniamo (considerando k={0;1}

che il risultato è 1+(-2)=-1

. Fin qui ci sei?
Passiamo quindi alla forma alternativa e consideriamo quindi sempre N=2

, otteniamo:
$\frac{1-(-2)^2}{1-(-2)}=\frac{-3}{3}=-1$
E' lo stesso risultato ottenuto prima!!
Non dovrebbe essere la stessa cosa???
La stessa cosa otteniamo con $\sum_{k=0}^{N-1}(-x^{-1})^k$ pur ottenendo risultati diversi (ma ci troviamo)!!!
Oppure ho detto un sacco di fesserie?? :)

da **matteoDL** » 7 set 2012, 17:46

Non hai detto fesserie ma semplicemente non hai centrato il punto...
Nel tuo esempio il tuo esponente 2 al numeratore lo lasci fuori dalla parentesi come è giusto, invece nella soluzione da te proposta lo porti dentro, sbagliando, per semplificarlo con l'altro (ora sto parlando di N naturalmente, che corrisponde al 2 dell'esempio numerico).

Infatti se nell'esempio numerico da te fatto facciamo come hai fatto tu nella soluzione proposta abbiamo:

$\frac{1-(-2)^2}{1-2}&=\frac{1-(-2^2)}{1-2}&=\frac{1-(-4)}{1-2}&=\frac{5}{-1}&=-5$ che ovviamente viene diverso in quanto il primo passaggio è sbagliato (ma renditi conto che fai questo identico passaggio nella soluzione al post [101]).

Quello che dicevo io era:
$\frac{1-(-2)^2}{1-2}&=\frac{1-((-1)^22^2)}{1-2}&=\frac{1-(4)}{1-2}&=\frac{-3}{-1}&=-1$ che è il risultato giusto.

da **dlbp** » 7 set 2012, 17:52

Quindi nella soluzione della serie da me proposta basta che non vado a mettere la

all'interno della serie? Quindi:
$\frac{1-(-e^{-j 2 \pi f \frac {T}{N}})^N}{1-(-e^{-j 2 \pi f \frac{T}{N}})}$
sarebbe giusto??

da **matteoDL** » 7 set 2012, 17:56

Beh così è ovvio che è giusto, hai solo sostituito la formula già fatta.
Il punto è che se lo porti dentro devi farlo anche al -1 e non solo all'esponente!
Oppure fai quello che avrei fatto io, cioè esprimere quel -1 in forma esponenziale e unirlo all'altro, così da evitare tutti questi errori.

da **dlbp** » 9 set 2012, 23:09

matteoDL rieccomi....
quindi dopo aver sostituito la serie geometrica ottengo
$\frac{T}{N} sinc(\frac{fT}{N}) e^{-j 2 \pi f \frac{T}{2N}} \frac{1-(-1)^N e^{-j 2 \pi f T}}{1-(-e^{-j 2 \pi f \frac{T}{N}})}$
A questo punto dovrei calcolare il modulo quadro, giusto?? :)

P.s. non so se sto dicendo una sciocchezza: mica posso semplificare

ed

??

da **matteoDL** » 10 set 2012, 0:04

dlbp ha scritto:P.s. non so se sto dicendo una sciocchezza: mica posso semplificare ed ??

Si mi sembra proprio una sciocchezza, una è una variabile, l'altra una costante...
a questo punto metterei il -1 nella sua forma esponenziale complessa, poi cercherei di raccogliere un esponenziale sia sopra che sotto in modo da lasciarmi dei seni.
Se invece riesci a trovarne direttamente il modulo quadro ben venga.

da **dlbp** » 10 set 2012, 0:10

Ok

matteoDL, domani mattina lo faccio e lo posto...ora è troppo tardi

Volevo farti una sola domanda: se ho un quoziente del tipo $\frac{x(t)}{y(t)}$ la sua trasformata di Fourier è il quoziente delle trasformate (ovvero $\frac{X(f)}{Y(f)}$ )??
E invece come mi comporto per il modulo quadro di un quoziente?? Grazie mille ;-)

da **matteoDL** » 10 set 2012, 0:17

Come dovresti sapere l'operazione di moltiplicazione nel dominio della frequenza corrisponde all'operazione di convoluzione nel domino del tempo. Di conseguenza è improbabile che la divisione, che altro non è che la moltiplicazione per il reciproco di uno dei termini, nella frequenza corrisponda a una divisione nel tempo, non ti pare?
Per il modulo invece vale la regola che il modulo di un quoziente è pari al quoziente dei moduli, stessa cosa per l'elevazione a quadrato naturalmente.
Insisto che dovresti studiarti meglio l'analisi prima di affrontare teoria dei segnali, questi dubbi non si dovrebbe avere ora.

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