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da **tazzo** » 2 ott 2012, 21:34

Ciao a tutti
Volevo togliermi alcuni dubbi sulla stabilità:
- tutti i sistemi retroazionati negativamente (ad es. op-amp) possono diventare instabili o esistono dei sistemi retroazionati negativamente sempre stabili a tutte le frequenze?
- se non ho capito male un sistema è instabile se quando la fase è minore di -180° ed un guadagno minore di uno, potete farmi un esempio fisico del perché? Ad esempio in un op-amp non invertente?

Ciao e grazie a tutti

da **simo85** » 2 ott 2012, 23:04

Ciao, premesso che sicuramente qualche altro utente può rispondere alla tua domanda con precisione, per il momento vedi se il PDF linkato della TI può esserti utile.

Stability Analysis of Voltage Feedback Op Amps.

O_/

da **tazzo** » 3 ott 2012, 10:04

Il PDF dice che l'unico op-amp stabile è quello sul banco di lavoro senza alimentazione..
Dice che anche gli op-amp compensati, sotto qualche condizione, possono oscillare. Non capisco però se esistono op-amp stabili a tutte le frequenze, magari la causa potrebbe essere il carico capacitivo o resistivo troppo elevato e non la frequenza.

Non capisco però una cosa: data una funzione di trasferimento generica

$\frac{A}{1+AB}$

dove

è il guadagno di anello la funzione diventa instabile quando AB = -1

poiché il denominatore si annullerebbe e il risultato tenderebbe ad infinito.

Non capisco però perché matematicamente -1 diventa 1∠180° nei numeri complessi. Secondo le mie conoscenze il numero reale -1 nei numeri complessi è sempre -1+0*i

in quanto non presenta nessuna parte complessa.

Ciao e grazie

da **Rayleigh** » 3 ott 2012, 15:17

Ogni numero complesso può essere scritto sia in forma

$a + b \cdot i$

che in varie altre forme. Quella da te citata successivamente è chiamata "forma esponenziale". Per arrivarci bene, tocca però passare da un'altra forma: quella seno-coseno.
Prendiamo un piano complesso, dove in ordinata c'è la parte immaginaria del numero complesso (b sta su questo asse) e in ascissa la parte reale del numero complesso (a sta su questo asse):

Immagine

Ogni punto in questo piano è un numero complesso. Adesso, dalla trigonometria, chiamando alfa l'angolo tra l'ascissa e il vettore che identifica il numero complesso sul piano, ho che:

$a = \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \cos ( \alpha )$
$b = \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sin ( \alpha )$
Quindi
$a + b \cdot i = \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \cos ( \alpha ) + \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sin ( \alpha ) \cdot i = \sqrt{a^2 + b^2} \cdot ( \cos ( \alpha ) + \sin ( \alpha ) \cdot i )$
ed è quindi nella forma
$M \cdot ( \cos ( \alpha ) + \sin ( \alpha ) \cdot i )$
Adesso, M è il modulo del vettore e si chiama appunto modulo. $\alpha$ è l'angolo del vettore con l'ascissa e si chiama Argomento:
$\alpha = \arctan \frac{b}{a}$ per a>0

$\alpha = \arctan \frac{b}{a} + \pi$ per a<0

Usando adesso, le formule di EULERO:

$\cos \alpha = \frac{e^{i \alpha} + e^{-i \alpha}}{2}$
$\sin \alpha = \frac{e^{i \alpha} - e^{-i \alpha}}{2 \cdot i}$
e sostituendo:
$a + b \cdot i = \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \frac{1}{2} \cdot (e^{i \alpha} + e^{-i \alpha} + e^{i \alpha} - e^{-i \alpha}) = \sqrt{a^2 + b^2} \cdot e^{i \alpha}$

Ecco spiegato perché:
$-1 + 0 \cdot i = 1 \cdot e^{i \pi}$
dove 1 è il modulo del vettore (-1,0) e $\pi$ è l'angolo.

da **tazzo** » 3 ott 2012, 16:10

Grazie per la spiegazione

Rayleigh ha scritto: $a + b \cdot i = \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \frac{1}{2} \cdot (e^{i \alpha} + e^{-i \alpha} + e^{i \alpha} - e^{-i \alpha}) = \sqrt{a^2 + b^2} \cdot e^{i \alpha}$

Ecco spiegato perché:
$-1 + 0 \cdot i = 1 \cdot e^{i \pi}$
dove 1 è il modulo del vettore (-1,0) e $\pi$ è l'angolo.

Non ho però capito l'ultimo passaggio, perché l'argomento è diventato uguale a pigreco?

La spiegazione geometrica senza neanche una formula che avevo immaginato era molto più semplice, dato il piano di Gauss dei numeri immaginari, un angolo di 180° equivale a ribaltare il segno, un angolo di 90° equivale sempre ad avere parte reale nulla e così via... il tutto in maniera geometrica tracciando con un "immaginario compasso" il punto finale sul piano.

Nei sistemi ho sempre associato la fase ad un ritardo temporale, il significato fisico sarebbe che una risposta di -1 (ad esempio guadagno in volt) è uguale ad una risposta di 1 volt dopo un mezzo periodo? .. :shock:

sono un po' confuso..

da **Rayleigh** » 3 ott 2012, 16:23

L'argomento è l'angolo tra l'ascissa positiva e il vettore. Quindi per il vettore in posizione (-1,0) è

Immagine

(immagina fatta in un secondo con paint)

Lo stesso risultato si trova, ovviamente, in maniera algebrica:

$\alpha = \arctan \frac{b}{a} + \pi$ per a<0

Quindi
$\alpha = \arctan \frac{0}{-1} + \pi = \pi$

Ah, ovviamente.. il $\pi$ è l'equivalente, in radianti, di 180°.. Questo sicuramente lo sai, ma giusto per fugare ogni minimo dubbio :)

tazzo ha scritto:Nei sistemi ho sempre associato la fase ad un ritardo temporale, il significato fisico sarebbe che una risposta di -1 (ad esempio guadagno in volt) è uguale ad una risposta di 1 volt dopo un mezzo periodo? .. sono un po' confuso..

La fase è un ritardo (o un anticipo) temporale. No, il -1 viene dal fatto che la retroazione da cui hai preso la formula, è negativa:

Immagine

Per avere oscillazione costruttiva, A moltiplicato beta deve fare -1. In questo modo la retroazione negativa provvederà a farlo diventare +1 e quindi a dare, di fatto, un sostegno continuo all'amplificatore senza dover ricorrere a segnali esterni.
Per tornare alle fasi, uno sfasamento di $\pi$ vuol dire che, in pratica, cambi di segno il segnale:
$\sin (x + \pi) = - \sin (x)$
$\cos(x + \pi) = - \cos (x)$
Che è esattamente quello che vuoi.

da **tazzo** » 3 ott 2012, 17:10

Ok, allora ho confuso qualcosa all'inizio, è:
un sistema è instabile se quando la fase è minore di -180° il guadagno è MAGGIORE di uno

la spiegazione è quindi che il guadagno maggiore di uno serve per sostenere l'oscillazione mentre la fase di 180° viene fuori dalla funzione di trasferimento (se il denominatore va a zero) ma fisicamente cosa vuol dire? Esiste una qualche spiegazione fisica?

da **Rayleigh** » 3 ott 2012, 18:29

Allora. Provo a spiegartelo bene:
Dato il sistema in figura

Immagine

$W(s) = \frac {Y(s)}{X(s)}$

dove X(s) e Y(s) sono rispettivamente trasformate di Laplace di x(t) e y(t), segnali in ingresso e in uscita.
A(s) è la funzione di trasferimento dell'AMPLIFICATORE e $\beta$ è la funzione trasferimento della rete passiva. Visto lo schema a retroazione negativa, posso scrivere

$W(s) = \frac {A(s)}{1 + \beta (s) \cdot A(s)}$

Io voglio che il mio amplificatore si autosostenga ad ingresso x(t) nullo. Quindi:
X(s) = 0. L'uscita Y(s) viene portata in retroazione attraverso beta, quindi in uscita alla rete beta avrò $\beta \cdot Y(s)$ . Passo quindi per il sommatore con entrata negativa e quindi subito dopo il sommatore avrò $- \beta \cdot Y(s)$ . Mi rientrerà nell'amplificatore, e quindi dopo un giro di anello avrò una nuova uscita $Y_2 = - A \beta \cdot Y(s)$ .

Per avere instabilità dovrò far si che l'uscita rimanga costante o cresca per ingresso nullo. (per avere stabilità devo avere uscita limitata nel tempo e in ampiezza per ingresso limitato nel tempo e in ampiezza -> se ho segnale zero, in uscita non dovrei avere segnale)

Y_2 >= Y

Quindi
$- A \cdot \beta >= 1$

Le condizioni LIMITE che segnano l'entrata nella regione di instabilità sono

modulo di $( A \cdot \beta ) = 1$
fase di $( A \cdot \beta ) = \pi$

Queste condizioni si chiamano di Barkhausen e in via teorica assicurano oscillazione al sistema. Cioè permettono di avere sempre la stessa uscita ad ingresso nullo. In realtà, come detto, questo è solo un modo particolare di instabilità, ho instabilità anche se il modulo A * $\beta$ è MAGGIORE di 1 quando la fase è $\pi$ , perché l'uscita tenderà NON SOLO a NON AZZERARSI ma addirittura ad AUMENTARE. Quindi, ricapitolando, sei in regione di instabilità se il modulo è maggiore o uguale a uno con fase $\pi$ . In caso tu abbia un modulo uguale a 1, hai creato, in via teorica, un oscillatore che fornisce in uscita sempre lo stesso segnale senza aver bisogno di ingresso.

da **tazzo** » 3 ott 2012, 20:54

Ti ringrazio per le delucidazioni

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