Corrente di scala

[Gauss92]

Salve a tutti!
Nello studio del BJT leggendo sul Sedra mi sono ritrovato davanti la relazione :



ma non capisco con quale delle due correnti di scala indichi.
Partendo dal'inizio ho proceduto in questo modo : parto dal BJT in condizione di saturazione, entrambe le giunzioni polarizzate in diretta, e risolvo l'eq di continuità per le correnti di diffusione nelle tre regioni. Fatti i conti mi ritrovo per le correnti di collettore ed emettitore 4 componenti : 2 di diffusione, 1 che tiene conto della generazione in zona di svuotamento e un termine aggiuntivo (negativo) che dipende dall'altra giunzione; se considero la corrente di emettitore questa componente sarà :



Tale componente rappresenta la frazione della corrente di collettore che raggiunge la giunzione BE e che si sottrae alle prima. Nel momento in cui entrambe le giunzioni sono polarizzate in diretta avrò due correnti di scala : una che rappresenta la corrente di BE che arriva a BC ed ha come area quella della giunzione E e una seconda che rappresenta la corrente di BC che raggiunge BE e che ha come area quella di C. Detto questo posso fare una distinzione tra e ma non posso più parlare semplicemente di . Da qui il dubbio sul suo significato spero possiate chiarirmi le idee.

[Miller]

A che pagina è questa relazione di preciso?

[Gauss92]

Io ho la 5a edizione e sta a pag 168. Ma sta comunque a poche pagine dall'inizio del BJT.

[jordan20]

Dunque Gauss92, tento di interpretare correttamente il tuo dubbio.

Bisogna però premettere che, se non ricordo male, per ottenere quella frazione di corrente espressa in quella forma, a partire dall'equazione di continuità formulata in zona neutra di base chiaramente, è necessario partire da una diversa condizione di funzionamento del BJT, cioè quella diretta con giunzione emettitore-base direttamente polarizzata e giunzione collettore-base inversamente polarizzata (nell'ipotesi di considerare ad esempio un npn). Quindi non mi sembra corretta la tua assunzione di considerare il funzionamento in saturazione; viceversa, ti chiedo, se puoi, di postare per intero tutti i passaggi per arrivare a quella relazione.

Detto questo, la relazione stampata "cotta e mangiata" dal Sedra, è inerente ad un'analisi di una struttura reale del transistore, cioè quella più fedele alla realizzazione in tecnologia planare (mi scuso anticipatamente se non uso FidoCadJ, ma per pigrizia ancora non l'ho installato sul questo PC nuovo ):

Npn_BJT_cross_section.PNG (8.16 KiB) Osservato 4239 volte

La trattazione tua invece, fa riferimento alla struttura super idealizzata del transistore, cioè quella famosa:

500px-NPN_BJT_Basic_Operation_(Active).svg.png (12.65 KiB) Osservato 4239 volte

Peraltro il Sedra dice chiaramente:

Il fatto che la struttura del BJT non sia simmetrica significa che, se l'emettitore ed il collettore vengono scambiati tra loro ed il transistore viene fatto funzionare nella regione attiva inversa, i valori di e che ne risultano, indicati con e (R sta per reverse), saranno differenti da quelli della regione attiva diretta e (F sta per forward). Inoltre, poiché la struttura viene ottimizzata per il modo di funzionamento diretto, e saranno molto più piccoli dei loro corrispondenti nel modo diretto.

Ora, dalla teoria dei diodi, saprai sicuramente che la corrente di scala è direttamente proporzionale all'area di giunzione, tanto è vero che il libro continua dicendo:

In questo caso, rappresenta la giunzione base-collettore ed ha una corrente di scala maggiore della corrente di scala del diodo .

Per cui, commentando "bovinamente" la relazione del Sedra, per quanto detto sull'analisi dimensionale dei guadagni di corrente e sull'asimmetria della struttura reale del dispositivo, sta a significare che il prodotto tra un fattore “grande” per una frazione di corrente “piccola” è sostanzialmente uguale al prodotto tra un fattore “piccolo” ed una frazione di corrente “grande” e tale “compensazione” si mantiene “costante” al valore semplificato della corrente inversa di saturazione , concorde oltretutto con il fatto che e sono frazioni della stessa corrente di scala (calcolata analiticamente) ma differenti a causa della differente area di giunzione attraverso cui si trovano a passare le cariche.

Spero di aver interpretato bene questo tuo dubbio (e visto l'orario non aver scritto porcate varie ).

[Gauss92]

sta a significare che il prodotto tra un fattore “grande” per una frazione di corrente “piccola” è sostanzialmente uguale al prodotto tra un fattore “piccolo” ed una frazione di corrente “grande” e tale “compensazione” si mantiene “costante” al valore semplificato della corrente inversa di saturazione , concorde oltretutto con il fatto che e sono frazioni della stessa corrente di scala (calcolata analiticamente) ma differenti a causa della differente area di giunzione attraverso cui si trovano a passare le cariche.

Prima di tutto grazie della risposta
Per quanto riguarda i conti li posto appena possibile perche sono lunghi e sono sotto esami

EDIT:
Mi sono convinto di tale fatto, per quanto strano a mio parere (anche perche facendo a mano i conti non mi tornano). A questo punto mi chiedo se è possibile calcolare la a prescindere dallo stato di funzionamento del dispositivo, cioè a prescindere dal valore di e..

[Gauss92]

RI-EDIT Tutto chiaro grazie ancora per la risposta

[jordan20]

Bene, prego figurati

[jordan20]

risolvo l'eq di continuità per le correnti di diffusione nelle tre regioni...

Giusto soltanto a completamento del discorso, per chi legge tutto il thread.

Dunque, considero la solita configurazione super idealizzata del transistore (npn) e, per facilitare ulteriormente la trattazione, suppongo che il drogaggio delle relative zone sia al limite dell'inizione ad alto livello, in modo da avere giunzioni (teoricamente) con andamento a gradino:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

(da considerare che il disegno non potrà mai essere in scala, visto che si tratta di concentrazioni dimensionalmente enormi).

Come detto nel post [4], assumo che il transistore sia polarizzato in zona attiva (per i versi adottati in figura quindi considero che la sia intrinsecamente negativa) e i versi delle correnti siano quelli effettivi. Ora, a grande distanza (in termini di lunghezza di diffusione) dalla giunzione emettitore-base, la corrente trasportata dai portatori maggioritari in zona di emettitore (ovvero gli elettroni) è uguale a quella entrante dal terminale E.

Dalla figura si vede che man mano ci si avvicina a questa giunzione il contributo 1 delle lacune provenienti dalla base, provoca la diminuizione di tale corrente.

C'è poi una ulteriore diminuizione, che ho indicato con 2, in coincidenza della zona di svuotamento della giunzione del diodo emettitore-base a causa (come ha indicato precedentemente Gauss92) della ricombinazione delle coppie elettrone-lacuna.

Ora cosa succede: dall'inizio della regione neutra di base (dove pongo per comodità un riferimento 0 per ascissa) fino al limite sinistro della zona di svuotamente della giunzione collettore-base (che indico con WB) la corrente elettronica (che è una corrente di diffusione, visto che adesso gli elettroni sono delle cariche minoritarie, trovandoci in zona di base drogata di tipo p) decresce ancora dal momento che alcuni elettroni si ricombinano con le abbondanti lacune qui presenti (questo contributo l'ho indicato con 3).

Finalmente la corrente elettronica che raggiunge la zona di svuotamento fra collettore e base si ritrova al collettore (attenzione, si deve però ammettere di poter trascurare sia il processo di moltiplicazione nella zona di svuotamento che la corrente inversa del diodo base-collettore).

Adesso posso scrivere l'equazione della diffusione in regione neutra di base:



dove è la diffusività (parametro dipendente dalla temperatura oltre che dalla mobilità delle cariche), è la concentrazione degli elettroni in zona di base (cariche minoritarie), è la concentrazione degli elettroni mobili in condizioni di equilibrio dinamico e è il tempo di emivita di tali elettroni. Le condizioni al contorno da considerare sono:



e



(questa seconda condizione deriva dall'ipotesi di svuotamento completo della zona di carica spaziale).

La soluzione del problema di Cauchy è allora la seguente:



che, in condizioni realistiche per cui e quindi , posso ulteriormente semplificare in questo modo:



Non è ancora finita Posso ancora semplificare questa espressione considerando il caso verosimile dove lo spessore è trascurabile rispetto alla lunghezza di diffusione degli elettroni, ottenendo quindi questa relazione lineare:



A questo punto, ricordandomi delle relazioni sui flussi di densità di corrente, posso ricavare i contributi di corrente di emettitore; abbiamo anzitutto la corrente elettronica che diffonde in regione neutra di base che vale (con buona approssimazione):





dove ho esplicitato la prima condizione al contorno in termini della concentrazione intrinseca del semiconduttore e della concentrazione di impurità di atomi accettori e indicato con S l'area della giunzione emettitore base (che nella realtà costruttiva varia tra le due giunzioni ed è affetta dalla presenza di inevitabili imperfezioni del reticolo cristallino, che ingenera i famosi centri trappola causa di possibili fenomini di rottura dovuto all'aumento locale di temperatura in coincidenza di tali centri).

Se formuliamo la stessa identica trattazione fatta per gli elettroni, per le lacune che dalla base vanno verso l'emettitore, otteniamo questa relazione per la corrente di diffusione delle lacune:



con i significati duali al caso degli elettroni per i pedici utilizzati. Tale componente è esattamente la 1 del grafico.

Infine si può scrivere la relazione per il contributo di corrente 2 in zona di carica spaziale, che vale:



dove G è una costante che tiene conto della velocita' di generazione-ricombinazione coppie elettrone-lacuna e ci fa vedere, essendo presente il fattore 2 a denominatore dell'esponente, come il meccanismo della generazione sia differente al meccanismo della diffusione e, cosa importante, in stretto legame con la temperatura.