ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **atipico** » 30 gen 2013, 18:33

buonasera
studiando oggi mi sono imbattuto in un esercizio un po' particolare, o almeno per me.
Mi veniva chiesto nella traccia di analizzare il circuito icon l'analisi nodale.
vi posto ilcircuito:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

il problema qual è? beh mi ritrovo con un SuperNodo ed un generatore attaccato sul super nodo.
Io non so come risolverlo, ed in particolare vorrei sapere se considerando il SuperNodo poi non devo più considerare i nodi B e C, e di conseguenza non scrivere la LKC per ciascuno.

dunque:
nodo [A]

da **Gost91** » 31 gen 2013, 1:21

Cosa intendi per G.T.D e G.T?

Tralasciando la precedente incomprensione, posso dirti che questo esercizio è banale in quanto si ha come sola incognita il potenziale al nodo B.
Questo perché, avendo posto come riferimento il nodo A, si ha che il potenziale al nodo C coincide con il valore di tensione erogato dal generatore E.
Di conseguenza rimane solo il potenziale al nodo B da determinare.
La presenza del generatore di tensione tra i nodi B e C impone che la ddp tra essi sia fissata al valore Ed.
Quindi:
$V_B-V_C=D*E \Rightarrow V_B=D*E+V_C$

Essendo noti tutti i potenziali di nodo possiamo risolvere completamente il circuito.

Farò finta che non sia presente il ramo con il generatore E, in modo da rendere un po' meno banale l'esercizio, visto ti interessa risolvere l'esercizio tramite l'analisi nodale in presenza di un generatore di tensione non a massa (quindi un supernodo).
Il generatore dipendente consideralo ora indipendente.
Lo indicherò con E_d

.

Le incognite ora sono V_B

e

, si devono dunque trovare 2 equazioni indipendenti per poter risolvere il circuito.

Una forma generalizzata della LKC per circuiti planari (tutti i circuiti rappresentabili in piano, quindi in pratica tutti quelli trattati in un corso di elettrotecnica) afferma che la somma algebrica delle correnti entranti in una qualsiasi linea chiusa tracciata sul circuito è nulla.

Quindi una prima equazione è quella che descrive il bilancio delle correnti al super nodo:
Secondo i riferimenti del circuito:

I_x=I_2+I_3+I_4

Tale equazione indica che la somma delle correnti entranti attraverso la linea verde è uguale alla somma delle correnti uscenti attraverso la linea verde.

Siccome le incognite sono il potenziale al nodo B e il potenziale al nodo C, merita riscrivere la precedente equazione in termini di questi ultimi.

Quindi per prima cosa esprimiamo ogni singola corrente in funzione di V_B

e

:

$I_x=\frac{V_A-V_B}{Z_1}=-\frac{V_B}{Z_1}$
$I_2=\frac{V_B-V_A}{Z_2}=\frac{V_B}{Z_2}$
$I_3=\frac{V_B-V_A}{Z_3}=\frac{V_B}{Z_3}$
$I_4=\frac{V_C-V_A}{Z_4}=\frac{V_C}{Z_4}$

(Se non l'avessi capito ho applicato la legge di Ohm)

Per poi riesprimere l'equazione di bilancio delle correnti:

$-\frac{V_B}{Z_1}=\frac{V_B}{Z_2}+\frac{V_B}{Z_3}+\frac{V_C}{Z_4}$

La seconda equazione è data dalla presenza del generatore di tensione tra i nodi B e C che impone tra loro una ddp issata al valore Ed (esattamente come visto in precedenza):

V_B-V_C=E_d

Si verifica facilmente che tale equazione è indipendente da quella di bilancio.

Quindi il circuito è completamente descritto dal seguente sistema:

$\begin{cases}-\frac{V_B}{Z_1}=\frac{V_B}{Z_2}+\frac{V_B}{Z_3}+\frac{V_C}{Z_4} \\ V_B-V_C=E_d\end{cases}$

Risolvendo il sistema, si determinano V_B

e

dalle quali poi si può determinare ogni singola corrente del circuito applicano Ohm.

In generale, in presenza di super nodi, si devono sempre eseguire questi 2 passi:

1. Bilanciare le correnti al super nodo
2. Indicare la ddp tra i nodi che formano il supernodo

...e il gioco è fatto! :cool:

da **atipico** » 31 gen 2013, 12:46

@Gost91
Sei stato gentilissimo a prenderti tanto disturbo per aiutarmi, ti ringrazio.

Gost91 ha scritto:Cosa intendi per G.T.D e G.T?

In realtà avrei dovuto scrivere:
GTCC= Generatore Tensione Controllato Corrente
abbreviato a:
G.T.D.= Generatore Tensione Dipendente
Ci sono due cose che però non ho capito:
-nel circuito che io ho inserito, il SuperNodo non esiste di fatto in quanto conosco gia la tensione su uno dei suoi capi?
-cosa intendi con D*E

nella formula di sotto?

$V_B-V_C=D*E \Rightarrow V_B=D*E+V_C$

da **Massi79** » 31 gen 2013, 13:31

Quel "Supernodo" non esiste.
Hai il nodo A,B e C.
Il potenziale del nodo A e del C li conosci.
$\dot{V}_A=0$
$\dot{V}_C=\dot{E}$

Non capisco da che corrente è pilotato il generatore.
L'equazione del nodo B è $\dot{V}_B=\dot{E}+(fasore \;generatore\;pilotato)$ .

da **atipico** » 31 gen 2013, 13:36

@Massi79
Hai ragione non ho inserito i dati perché mi interessava capire come ragionare più che la soluzione del circuito in se.
In ogni caso E_d=4I_x

atipico ha scritto:@Gost91
Sei stato gentilissimo a prenderti tanto disturbo per aiutarmi, ti ringrazio.
Gost91 ha scritto:Cosa intendi per G.T.D e G.T?

In realtà avrei dovuto scrivere:
GTCC= Generatore Tensione Controllato Corrente
abbreviato a:
G.T.D.= Generatore Tensione Dipendente
Ci sono due cose che però non ho capito:
-nel circuito che io ho inserito, il SuperNodo non esiste di fatto in quanto conosco gia la tensione su uno dei suoi capi?
-cosa intendi con nella formula di sotto?
$V_B-V_C=D*E \Rightarrow V_B=D*E+V_C$

da **Massi79** » 31 gen 2013, 13:48

Hai queste due equazioni
$\left\{\begin{matrix} \dot{V}_B=\dot{E}+4\dot{I}_X\\ \dot{I}_X=-\frac{\dot{V}_B} {\overline{Z}_1} \end{matrix}\right.$
da qui dovrebbe essere facile trovare il potenziale al nodo B.

da **Gost91** » 31 gen 2013, 13:54

Ok, è la prima volta che mi imbatto nei precedenti acronomi (G.T.D, G.T), sicché perdona le mie incomprensioni.
Se riposti il circuito indicando correttamente le grandezze di controllo posso vedere di aiutarti a risolverlo.

Per quanto riguarda i super nodi, posso dirti che un super nodo è un insieme di più nodi adiacenti, cioè tali da poter essere racchiusi da una linea chiusa.

Nel 90% dei casi è sufficiente considerare super nodi costituiti da solo 2 nodi connessi da un generatore di tensione (indipendente o dipendente).

Si ricorre a questo metodo in quanto non è possibile conoscere a priori il valore della corrente che scorre in un generatore di tensione (indipendente o dipendente).
Questo perché, a seconda del carico che vede, esso fornirà tutta la corrente necessaria a mantenere una determinata ddp ai suoi 2 terminali.

Considera, a titolo di esempio, la seguente porzione di un ipotetico circuito:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Abbiamo appena detto che non è possibile conoscere a priori la corrente che scorre in un generatore di tensione.
Quindi nel caso ora in esame, non è possibile esprimere in funzione dei potenziali in A e B il valore della corrente I_x

$I_x=\text{?}$

Siccome nell'analisi nodale si devono esprimere tutte le correnti di ramo in funzione dei potenziali di nodo, questo porta ad un problema, in quanto abbiamo una corrente di ramo "ignota".
I_x

non può essere espressa in funzione di V_A

e

.
Non possiamo bilanciare le correnti ai nodi A e B.

$\text{NODO A:} \quad I_1=I_2+\text{?}$

$\text{NODO B:} \quad \text{?}=I_3+I_4$

Per ovviare a questo problema allora, invece di considerare separatamente i nodi A e B si considera il super nodo AB:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Come vedi, considerando il super nodo, abbiamo che I_x

è interna, quindi non contribuisce al bilancio delle correnti entranti/uscenti.
Possiamo per ora trascurarla.
La nuova equazione di bilancio è la seguente:

$\text{SUPER NODO AB} \quad I_1=I_2+I_3+I_4 \qquad \qquad \text{(1)}$

Siccome le incognite sono 2 (il potenziale in A e il potenziale in B), saranno necessarie 2 equazioni per poter determinarle univocamente.
Ci manca ancora una equazione.

L'altra equazione, nella quale devono comparire le incognite precedenti è la seguente:

$V_B-V_A=V \qquad \qquad \text{(2)}$

La quale esprime il fatto che tra il nodo A e il nodo B è presente un generatore di tensione che impone una ddp di valore

.

Quindi integrando le seguenti equazioni:

$\begin{cases} \text{(1)} \\ \text{(2)} \end{cases}$

con le restanti date dal circuito completo si riesce a risolvere il circuito.
Ricorda però che la $\text{(1)}$ deve espressa in funzione dei potenziali di nodo.

da **atipico** » 31 gen 2013, 14:05

@Gost
la

non doveva essere V_A-V_B=-E

? dato che la corrente scorre da

a

mi puoi anche dire a cosa ti riferivi con D*E

?
@Massi
ok Grazie

da **atipico** » 31 gen 2013, 14:07

atipico ha scritto:@Gost
la non doveva essere ? dato che la corrente scorre da a
mi puoi anche dire a cosa ti riferivi con ?
@Massi
ok Grazie

va be per la (2) ho capito hai solo cambiato i segni ok ok

da **atipico** » 31 gen 2013, 14:10

Massi79 ha scritto:Hai queste due equazioni
$\left\{\begin{matrix} \dot{V}_B=\dot{E}+4\dot{I}_X\\ \dot{I}_X=-\frac{\dot{V}_B} {\overline{Z}_1} \end{matrix}\right.$
da qui dovrebbe essere facile trovare il potenziale al nodo B.

@Massi
ripensandoci ma perché

?

atipico ha scritto:
atipico ha scritto:@Gost
la non doveva essere ? dato che la corrente scorre da a
mi puoi anche dire a cosa ti riferivi con ?
@Massi
ok Grazie

va be per la (2) ho capito hai solo cambiato i segni ok ok

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