esercizio analisi complessa

[904]

Salve a tutti non capisco cosa vuole dire questo esercizio :
Dimostrare che la funzione , è intera.
che intende per intera?

[RenzoDF]

... che intende per intera?

Per funzione "intera" si intende una funzione olomorfa su C, ovvero una funzione che non possiede punti singolari finiti.

[904]

e non basta che faccio la derivata che esce 6z al quadrato e questa non possiede punti di singolarità e se verifico le condizioni necessarie di cauchy queste sono verificate questa sarebbe la dimostrazione?

[neg]

una funzione intera se non sbaglio è una funzione olomorfa su tutto il piano complesso con al più una singolarità nel punto all'infinito. Se verifica le condizioni di Chaucy e non ha singolarità finite allora è dimostrato.

[jordan20]

Una funzione è intera secondo la definizione che ti ha già dato RenzoDF, per cui se è così vuol dire che risulta analitica ovunque nel piano complesso, cioè che ammette derivata in ogni suo punto.

se verifico le condizioni necessarie di cauchy queste sono verificate questa sarebbe la dimostrazione?

Puoi procedere in questo modo, ma significa che devi determinare separatamente le espressioni della parte reale e immaginaria della funzione complessa e poi verificare le condizioni di Cauchy-Riemann su tutta la regione di definizione della funzione complessa.
Un modo più rapido è quello di utilizzare un'unica condizione equivalente a quelle di Cauchy-Riemann (ovviamente dimostrabile) e cioè la seguente:



Per cui:




dove ho sviluppato il cubo di un binomio:



e ricordando chiaramente che . A questo punto calcolo le derivate parziali rispetto ad x ed y:





per cui la condizione equivalente di Cauchy-Riemann è verificata qualunque sia il punto . Inoltre puoi renderti conto che le derivate parziali sono entrambe continue per cui necessariamente continue risulteranno anche le derivate della parte reale ed immaginaria . Quindi la funzione complessa data è certamente analitica e per di più intera.