Consiglio per soluzione semplice rete RLC

[marcusbarnet]

Ciao a tutti,

avrei bisogno di un aiuto e di consigli riguardo la soluzione di un problema di elettrotecnica molto banale.
Dico banale perché ai tempi in cui studiavo sicuramente l'avrei risolto tranquillamente, ma a distanza di qualche anno, ho un po' di confusione e un po' mi vergogno anche.

Praticamente, ho un carico alimentato da una tensione costante Va che si sposta lungo una linea tramite contatti striscianti e, siccome ci sono delle irregolarità nei contatti della linea, nel circuito rappresentativo è stato inserito un interruttore (per modellare la perdita di contatto con la linea).

Viene chiesto di calcolare la sovratensione massima ai capi dell'interruttore supponendo il carico resistivo e la linea di lunghezza Lo con il carico fermo.

Stando al circuito in figura, ovviamente, credo bisogni calcolare la caduta di tensione sul condensatore che, sarà, poi quella che si vedrà ai capi dell'interruttore quando è aperto.

Si tratta quindi di risolvere una rete RLC.


che è uguale a:


Da cui sostituendo i dati numerici nell'omogena:

però, mi tira fuori dei numeri complessi.
In particolare, i dati sono:


Ho forse sbagliato qualcosa?
Mi sembra strano che dia un valore complesso perché uno dei punti successivi dice di trovare una soluzione per diminuire la sovratensione sull'interruttore a meno di 1500V quindi mi aspetto, per il primo punto, di trovare una sovratensione maggiore di 1500V.

Mi sapreste aiutare, per favore?
Ho forse sbagliato approccio?

Scusate se lo schema circuitale non è riportato come da regolamento, ma ho un Mac e non riesco a far funzionare l'applicazione.

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[IsidoroKZ]

Credo che manchi il valore del carico: la sovratensione dipende dalla corrente assorbita.

Il calcolo puo` essere fatto usando la teoria delle linee: in pratica al posto del carrello metti un generatore di corrente e vedi che cosa capita sulla linea quando passa da corrente I a corrente nulla: la tensione dovrebbe salire del valore di I moltiplicato per Zo/2, dove Zo e` l'impedenza caratteristica della linea.

Dalle figure che hai postato sembra pero` che chi ha scritto il problema lo voglia risolto in termini di parametri concentrati (e secondo me e` sbagliato farlo in quel modo, ma tant'e`...).

Con il carico collegato calcola la tensione continua (=a regime) sulla capacita` e la corrente nell'induttanza. Poi usi questi come valori iniziali per risolvere l'equazione differenziale del circuito RLC. Viene un risultato circa doppio del precedente perche' il disegno con RLC che hai fatto si riferisce al termine della linea (almeno cosi` sembra), mentre il primo disegno si riferisce a un punto generico della linea.

[marcusbarnet]

Ciao Isidoro, ti ringrazio per la risposta.

Il carico assorbe una potenza di 30kW.

Il primo disegno si riferisce al sistema con il carico (in questo caso un oggetto o un veicolo che si muove sulla linea con contatti striscianti) a cui è associata una certa velocità.

Il primo punto chiede di calcolare la sovratensione sull'interruttore (che modella le discontinuità) facendo riferimento al secondo circuito che modella il sistema che ho descritto prima supponendo il carico fermo.

Volendo risolverlo con la teoria delle linee, come impedenza della rete cosa dovrei considerare?
(Non ho molte nozioni su questo argomento).

I calcoli e le considerazioni che avevo fatto nel primo post, quindi, sono proprio sbagliate?

[IsidoroKZ]

L'impedenza della linea vale . Il carico assorbe circa 50A, l'impedenza che vede in un punto qualunque della linea e` Z0/2=194Ω, e quindi una variazione di corrente di 50A su 194Ω fanno circa 10kV.

Il tuo conto mi sembra ragionevole (non ho verificato i passaggi): devi risolvere l'eq. diff con le condizioni iniziale Vc(0)=600V e IL(0)=50A. E` giusto che con quel modello vengano degli autovalori complessi coniugati, vuol dire che si ha una risonanza.

Nella soluzione, visto che la tensione Va da` solo un contributo continuo, puoi anche toglierla e considerare solo la variazione di tensione sopra i 600V, e quindi togli Va, e la condizione iniziale di Vc diventa nulla, rimane solo quella di IL. Se moltiplichi IL per la Z0 del circuito ottieni la tensione massima sul condensatore, in questo caso circa 20kV, perche' non c'e` il tratto di destra della linea.

[marcusbarnet]

Ti ringrazio nuovamente per le delucidazioni preziose.

Questa sera provo a fare i calcoli in base a quanto mi hai spiegato e poi posto i risultati.

Se volessi ridurre la sovratenzione ai capi dell'interruttore, se non ricordo male, si potrebbe usare uno snubber, giusto? In questo caso, andrebbe anche bene un condensatore in parallelo all'interruttore?

[IsidoroKZ]

Non hai un interruttore, non puoi mettergli uno snubber a cavallo, perche' l'altro lato dell'interruttore non e` accessibile.

Un condensatore ai capi di un interruttore riduce le sovratensioni in apertura, ma crea delle sovracorrenti quando si richiude.

[marcusbarnet]

L'avevo pensato anche io però dato che l'esercizio chiedeva anche di pensare ad una soluzione per attenuare la sovratensione ad un massimo di 1500V, l'unica che mi era venuta in mente era quella di uno snubber RC.

Cosa si potrebbe fare altrimenti?
Usare un reostato?

[IsidoroKZ]

Se il contatto si stacca non c'e` nulla che si possa fare a cavallo del contatto stesso. Si possono mettere contatti multipli, in modo che l'energia associata alla sovratensione sia limitata a un tratto corto della linea, oppure abbassare l'impedenza caratteristica della linea.

Poi non so in che contesto e` questo problema, scuola, lavoro, curiosita` da settimana enigmistica... Se e` di scuola potrebbe essere uno di quei problemi delle palle, in cui il docente vuole una ben precisa risposta che lui ha in testa, senza aver mai visto sistemi di distribuzione dell'energia a contatti striscianti.

[marcusbarnet]

Sicuramente il problema posto proviene dal mondo della scuola, ma lo svolgo per curiosità perché non sono più uno studente da un po' di tempo; per questo motivo, non so chi sia il docente che l'ha scritto e nemmeno cosa si aspetti come risposta.

Però se chiedeva di pensare a qualcosa per ridurre la sovratensione ad un massimo di 1500V, immaginavo bisognasse dimensionare un qualche componente da aggiungere (per questo avevo pensato ad uno snubber) oppure dimensionarne uno che già compone il circuito.. altrimenti non avrebbe dato un valore preciso per la tensione..

Comunque per il primo punto, ho svolto nuovamente il procedimento sulla base di quello che mi hai consigliato ed ora i risultati sembrano più adeguati a quello che mi aspettavo..