ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **MyShow** » 29 dic 2011, 14:17

Ho il seguente problema :
Un condensatore piano la cui distanza tra le piastre è =L ha una densità di carica libera $\rho$ dipendente da z $\rho\left ( z \right ) = \rho_0 * z$
Si richiede di calcolare la tensione e il campo elettrico all'interno del condensatore

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Le condizioni al contorno sono V(0)=V0 e V(L)=0

io volevo sapere in particolare se è possibile risolvere l'equazione differenziale di secondo ordine del'equazione di Poissont:

$d^2V\left ( z \right )/dz^2 = \rho/\epsilon$

utilizzando la trasformata di laplace. se si come si fa?

da **Lele_u_biddrazzu** » 29 dic 2011, 15:48

Innanzitutto stiamo parlando dell'equazione di Poisson (non PoissonT)

$\triangle V=-\frac{\rho}{\varepsilon}$

Nel tuo caso monodimensionale si ha:

$\frac{\text{{d}}^{2}V\left(z\right)}{\text{{d}}z^{2}}=-\frac{\rho_0}{\varepsilon}\cdot z$

la cui soluzione generale risulta essere:

$V\left(z\right)&=&-\frac{\rho_{0}}{6\varepsilon}\cdot z^{3}+\text{{A}}\cdot z+\text{{B}}$

A questo punto, imponendo le condizioni al contorno, si determina il valore delle costanti di integrazione A e B; ovvero (se non erro) si ottiene la seguente distribuzione di potenziale:

$V\left(z\right) =-\frac{\rho_{0}}{6\varepsilon}\cdot z^{3}+\left(\frac{\rho_{0}}{6\varepsilon}\cdot L^2-\frac{V_{0}}{L}\right)\cdot z+V_{0}$

Il campo elettrico, infine, risulta essere:

$E(z) = -\frac{\text{d}V(z)}{\text{d}z} =\frac{\rho_{0}}{2\varepsilon}\cdot z^2-\frac{\rho_{0}}{6\varepsilon}\cdot L^2 + \frac{V_0}{L}$

p.s. non credo che il metodo della trasformata di Laplace sia in generale utilizzabile per la risoluzione di equazioni alle derivate parziali (quale quella di Poisson)!

da **jordan20** » 29 dic 2011, 16:28

Lele_u_biddrazzu ha scritto:p.s. non credo che il metodo della trasformata di Laplace sia in generale utilizzabile per la risoluzione di equazioni alle derivate parziali (quale quella di Poisson)!

lo pensavo anche io, ma in questo caso unidimensionale, visto che la derivata diventa ordinaria, si potrebbe comunque applicare, no :?:

(anche se, a onor del vero, non strettamente necessario)

da **DirtyDeeds** » 29 dic 2011, 16:40

Lele_u_biddrazzu ha scritto:p.s. non credo che il metodo della trasformata di Laplace sia in generale utilizzabile per la risoluzione di equazioni alle derivate parziali (quale quella di Poisson)!

Come no! Sia la trasformata di Laplace che quella di Fourier sono utilizzate per risolvere equazioni alle derivate parziali.

da **MyShow** » 29 dic 2011, 16:41

Chiedo scusa :oops:

non avevo il libro sotto mano e mi sono fatto scappare quella T la soluzione è corretta comunque mi è utile sapere anche se era applicabile la trasformata di Laplace e in che modo si applica con le due condizioni al contorno

da **Lele_u_biddrazzu** » 29 dic 2011, 16:43

Si, avete ragione :ok:

Per utilizzare Laplace (nel caso in esame) è necessario considerare il potenziale elettrico e il campo elettrico in uno dei due estremi della regione di indagine...

Supponendo noti il potenziale V(0^+)=V_0

e il campo elettrico E(0^+)=E_0

, l'equazione differenziale (data nella variabile spaziale

) assume nel dominio di Laplace la seguente forma:

$s^2 \cdot V(s) - s \cdot V_0 + E_0 = - \frac{\rho_0}{\varepsilon} \cdot \frac{1}{s^2}$

ovvero:

$V(s) = \frac{V_0}{s} - \frac{E_0}{s^2} - \frac{\rho_0}{\varepsilon} \cdot \frac{1}{s^4}$

Antitrasformando i vari termini della precedente relazione, si ha:

$V(z) = \left( V_0 - E_0 \cdot z- \frac{\rho}{6\varepsilon} \cdot z^3 \right) u(z)$

essendo u(z)

il gradino unitario.

da **MyShow** » 29 dic 2011, 17:00

Quindi con i dati del mio problema non è possibile ottenere la soluzione esatta? o quantomeno non una soluzione identica a quella che ho risolvendo l'equazione differenziale

da **DirtyDeeds** » 29 dic 2011, 17:05

Perché no?

Nella soluzione che ti ha dato

Lele_u_biddrazzu

$V(z) = \left( V_0 - E_0 \cdot z- \frac{\rho}{6\varepsilon} \cdot z^3 \right) u(z)$

ricavi E_0

imponendo la condizione al contorno che hai per z=L

.

da **MyShow** » 29 dic 2011, 17:19

Giusto! grazie mille... :)

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Problema di Poisson

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