Circuito RLC, impostazione equazione differenziale

[allblacks]

Buongiorno a tutti,
sono nuovo in questo mondo, ma ho letto un po' tutto ciò che c'era da sapere sul forum, spero perciò di non fare troppe cavolate.
Il problema in questione è l'esercizio di un esame che ho fatto in questi giorni: Dato il seguente circuito, mi si chiede di calcolare la corrente passante per il resistore nell'istante di tempo t=20s. Il generatore ideale di corrente è stazionario e il circuito è a regime per t<0. All'istante t=0 l'interruttore viene aperto. I valori delle grandezze di stato all'istante iniziale sono riuscito a trovarli, il mio problema sta nell'impostare le equazioni differenziali che descrivono la dinamica del circuito!!!. Dopo averle impostate, studiando l'equazione omogenea associata, ho trovato una delle due frequenze naturali pari a zero.
Alla scrittura delle equazioni differenziali ci sono arrivato sia tramite Kirchhoff sia tramite lo studio del circuito resistivo associato, ed il risultato è stato lo stesso



Se volete posto i valori dei bipoli, anche se non ricordo quello del generatore, ma è poco importante visto che il mio problema è a monte.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

So che l'esercizio è banale, e ho visto che ce ne sono di simili nel forum, ma non sono riuscito a risolverlo. Anche se son quasi certo che il mio errore sta nell'uso delle convenzioni dell'utilizzatore e del generatore che uso quando sostituisco la relazione caratteristica del conduttore e dell'induttore nelle 2 equazioni che trovo. Mi scuso per gli eventuali errori nel grafico, ma non sapevo come indicare i versi per le correnti e le tensioni che ho scelto. Vi ringrazio in anticipo, buona giornata.

[RenzoDF]

Tanto per cominciare direi che nell'equazione della vL c'è qualcosa che non va.

[allblacks]

Mi aiuteresti a capire cosa? davvero non so come uscirmene..

?

[RenzoDF]

?

Non tiriamo ad indovinare , facendo la maglia direi che sia più facile; partendo dal morsetto inferiore dell'induttore e percorrendola in senso orario troviamo



che poi associata alla prima porta al seguente sistema per le equazioni di stato

...Mi scuso per gli eventuali errori nel grafico, ma non sapevo come indicare i versi per le correnti e le tensioni che ho scelto...

Per quanto riguarda i versi delle correnti, quelle frecce vanno benissimo, mentre per quanto riguarda le tensioni, dei semplici "+" e "-" sarebbero più eleganti e meno invasivi.

[allblacks]

ok renzo, quindi l'equazione di vl dovrebbe essere, sostituendo , e tenuto conto che



(tra l'altro c'ero arrivato a questo ho dimenticato di scrivere che nel metodo che avevo usato del circuito resistivo associato, avevo indicato

[RenzoDF]

... avevo usato del circuito resistivo associato, avevo indicato

Proprio una "bella idea"

BTW avevi ragione per il segno, ormai sbaglio in continuazione.

[allblacks]

Proprio una "bella idea"

eheh scusa ma ho copiato i passaggi dal foglio in brutta dell'esame, quindi ho fatto un po' di confusione.


son felice di apprendere che il primo passo l'avevo fatto giusto, a questo punto l'errore deve stare per forza nella sostituzione delle relazioni caratteristiche dell'induttore e del condensatore. cosa sostituiresti tu al posto di e ?

[RenzoDF]

Visto che abbiamo usato per entrambi la convenzione degli utilizzatori, userei le relazioni costitutive "normali".

... sarebbe comunque utile conoscere anche le richieste del problema, ovvero ... 'che devi trovà ?

[allblacks]

nel problema si chiedeva di trovare la corrente passante per a t = 20 s. Scusa ho provato finora ma non sono riuscito a scrivere con latex l'equazione differenziale, riporto direttamente l'omogenea associata in forma volgare:
u^2 + (R1+R2+R3)/(L) u + 1/(LC) = 0


E' questa??

[Lele_u_biddrazzu]

L'equazione differenziale che devi considerare per calcolare la corrente che attraversa l'induttore dovrebbe essere la seguente...



Ti consiglio di risolvere il relativo problema di Cauchy e di verificare il risultato ottenuto.
In caso di dubbi, chiedi pure