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da **ireon** » 7 ott 2012, 20:47

Allora guardate com'è stato risolto il seguente limite di successione, non ho capito alcuni passaggi:

$\frac{\sqrt[n]{2}-1}{2^{n}+n^{10}}(\sqrt[n]{n^{n^2+2n}+2^n\cdot n^{n^2+n}}-n^{n+2}=\frac{e^{\frac{log2}{n}}-1}{2^{n}(1+o(1))}n^{n+2}\sqrt[n]{1+\frac{2^n}{n^n}}-1=$

$\frac{log2(1+o(1))}{n2^{n}}n^{n+2}(exp(\frac{1}{n}log(1+\frac{2^{n}}{n^n}))-1)=$

$\frac{log2(1+o(1))}{n2^n}n^{n+2}\frac{1}{n}log(1+\frac{2^{n}}{n^n})(1+o(1))=$

$\frac{n^{n}log2}{2^n}\frac{2^{n}}{n^n}(1+o(1)) = log2(1+o(1))$

Allora i passaggi che non ho capito sono i seguenti:

• come si arriva da $\sqrt[n]{2}$ -----> $e^{\frac{log2}{n}}$

• come si arriva poi da $\frac{e^{\frac{log2}{n}}-1}{2^{n}(1+o(1))}$ -----> $\frac{log2(1+o(1))}{n2^{n}}$

• come si arriva da $exp(\frac{1}{n}log(1+\frac{2^{n}}{n^n}))-1)$ -----> $\frac{1}{n}log(1+\frac{2^{n}}{n^n})(1+o(1))$

da **RenzoDF** » 7 ott 2012, 20:54

Direi che basta ricordare che esponenziale e logaritmo naturale son "parenti stretti" ;-)

... e, ovviamente le propietà del logaritmo ... ben note a noi "anziani" ... che facevamo tutti i calcoli con due pezzi di legno. :mrgreen:

http://www.syssrc.com/html/museum/html/sims/javaslide/

da **DirtyDeeds** » 7 ott 2012, 21:02

ireon ha scritto: $\sqrt[n]{2} -----> e^{\frac{log2}{n}}$

Be', questa è una proprietà elementare dei logaritmi (usa \ln per il logaritmo in base e):

$\ln\sqrt[n]{2} = \frac{1}{n}\ln 2$

Per gli altri, ricorda che

$\text{e}^x = 1 +x +O(x^2)$ per $x\rightarrow 0$