Excel-Fourier

[novizio]

Salve.

Prima di porre il quesito, nel dettaglio, vorrei essere sicuro di trovarmi nella sezione del forum più appropriata ad accoglierlo. Si tratta di una questione che concerne il pacchetto excel - più propriamente la funzione analisi di Fourier dell'add-in "analisi dati" - ed i risultati da tale funzione ottenuti inerenti la serie/trasformata di Fourier.

E' qualche giorno che cerco di venirne a capo ma, anche dopo aver risolto una serie di problemini, ancora non ho - per così dire - chiuso il cerchio.

Bene, chiedo allora ai moderatori: è questa la giusta sezione?

Grazie.

[phylum]

devi descrivere la questione
sezione: non proprio... ma non è un problema

[novizio]

Grazie, phylum, ecco la descrizione.

Dal momento che in questo periodo sono interessato ad approfondire il DSP (Digital Signal Processing), o elaborazione numerica del segnale, ho pensato di costruirmi, con excel, un foglio per l'esecuzione della trasformata di una stringa di dati nel dominio del tempo (l'output, ad esempio, di un campionamento numerico di un segnale vocale).

Poi, ho scoperto che excel già consente questo tipo di operatività: è sufficiente "aggiungere" la funzione "strumenti di analisi" in "componenti aggiuntivi" (nel menu Strumenti).

Detto fatto, ho cominciato a "testare" la funzione "Analisi di Fourier", all'interno di "strumenti di analisi". Naturalmente, ho iniziato con un segnale canonico del quale conosco il risultato. In particolare ho campionato (32 campioni) un segnale sinusoidale, di ampiezza unitaria e frequenza 1 Hz.

Ecco, questa è la "questione": in sostanza non mi trovo con il risultato esposto da excel.
Spero sia stato sufficientemente esauriente. Se è questo il forum giusto, posso continuare aggiungendo anche i dump di schermo che possono chiarire meglio quanto esposto verbalmente.

Grazie.


P.S.: in luogo di "sezione" come avrei dovuto dire?

[phylum]

sezione, nel senso che da come ti eri spiegato il problema sembrava diverso, in ogni caso provvediamo noi a spostare se necessario - in quanto a dettagli - più esponi più facile è aiutarti

[novizio]

Bene. Cercherò, allora, di dare più informazioni possibile con il duplice scopo:

a. da un lato, di aiutare chi, come me, è interessato all'argomento ed offrire, a costoro, le informazioni che nel frattempo sono riuscito a reperire in rete (soprattutto su siti americani);

b. dall'altro lato, invece, di cercare di far comprendere il mio problema ampliando le probabilità di ottenere l'aiuto che sto cercando.

[novizio]

Per prima cosa vorrei far vedere come aggiungere tale funzionalità se, nel sistema excel da noi impiegato, non presente.

Innanzitutto occorre selezionare il sottomenu "Componenti aggiuntivi ...", dal menu Strumenti

fig1.png (5.22 KiB) Osservato 14000 volte

Quindi spuntare la casella relativa al pacchetto "Strumenti di analisi"

fig2.png (32.57 KiB) Osservato 14000 volte

Successivamente si potrà lanciare, dal menu "Strumenti", la funzione "Analisi dati" e, quindi, "Analisi di Fourier"

fig3.png (28.74 KiB) Osservato 14000 volte

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Quest'ultima propone la seguente finestra di dialogo:

fig4.png (27.6 KiB) Osservato 13996 volte

Nel campo "Intervallo di input" va indicato il vettore (riga o colonna è indifferente) dei dati costituenti i valori della nostra funzione nel dominio del tempo. Si tratta di un insieme di campioni del segnale che stiamo analizzando. E' bene sapere che tale numero di campioni deve essere sempre una potenza di 2 (nel mio caso i campioni erano 32).

L'intervallo di output è costituito dal risultato dell'operazione di trasformazione. Il sistema ci restituisce un egual numero di campioni questa volta, però, nel dominio della frequenza. Nel campo è sufficiente indicare la cella di inizio del vettore dove vogliamo che il sistema scriva i risultati (nello stesso foglio, o in altro foglio della stessa cartella di lavoro, o in altra cartella di lavoro).

La casella in corrispondenza di "Inversa" non va spuntata. La spunteremo solo nel caso fossimo interessati all'operazione di antritrasformazione. Ed in questo caso, naturalmente, i dati di input saranno costituiti da un campione del nostro spettro armonico e, quelli di output, formeranno un campione della relativa funzione nel dominio del tempo.

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Come primo esempio proviamo ad eseguire la trasformazione di un segnale del tipo "impulso isolato" per il quale immaginiamo di disporre di 32 campioni.

fig5.png (5.49 KiB) Osservato 13992 volte

Dalla documentazione che ho reperito in rete (il manuale di excel è particolarmente povero delle informazioni inerenti la funzione qui esaminata) ho appreso che i campioni devono essere forniti ad excel secondo la seguente modalità: prima da 0 a N/2; e poi da -N/2 +1 a -1. Nel nostro caso, trattandosi di 32 campioni, si dovevano inserire, prima, i campioni da 0 a 16; e poi quelli da -15 a -1.
Essendo l'impulso del nostro esempio di ampiezza unitaria e di durata 8 unità temporali, avremo:

fig6.png (13.37 KiB) Osservato 13992 volte

In sostanza, i campioni, da 0 a 4, valgono tutti 1. I successivi, fino al campione 16, valgono tutti 0. Poi si indicano i valori dei campioni posti a sinistra dell'origine: dal -15 al -5, sono tutti eguali a 0; i restanti, fino al campione -1, valgono tutti 1.

Giunti a questo punto abbiamo terminato la preparazione del vettore di input e siamo pronti per lanciare la funzione di trasformazione. Si ottiene, in questo caso, il seguente risultato:

fig7.png (33.29 KiB) Osservato 13992 volte

Si nota che i risultati forniti non hanno la formattazione numerica, bensì quella testuale. Ciò in quanto, trattandosi di numeri, in generale complessi, excel li visualizza in questo modo.
Essendo, in questo specifico caso, tutti numeri reali - positivi e negativi - è sufficiente convertire il formato di tali numeri da testuale a numerico.

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Possiamo poi rappresentare il tutto con un grafico cartesiano ed ottenere:

fig8.png (14.94 KiB) Osservato 13989 volte

Avendo avuto cura, naturalmente, di "risistemare" i dati secondo il naturale ordine delle x crescenti da sinistra verso destra.

Dal grafico riconosciamo il classico andamento del seno cardinale (sin x / x) che è proprio la trasformata di Fourier dell'impulso isolato.

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Considerazioni sui fattori di scala (1)

Le considerazioni qui esposte sono tratte da un documento del 4 marzo 2009 a firma di Douglas A. Kerr (The Fourier Analysis Tool in Microsoft Excel).

Nel documento vengono analizzate alcune questioni inerenti i fattori di scala dei dati di output ed il legame che questi hanno con la scala usata per i campioni costituenti i dati di input.

Kerr, nell'introduzione, afferma:

Imagine that we have a function of time that represents a segment of an audio waveform. If we calculate the Fourier Transform of this source function, we get a new function that describes the amplitude frequency spectrum of the waveform. This portrays how the power in the waveform is distributed over frequency. The waveform is said to be described in the time domain, while the spectrum is described in the frequency domain.

Ed in una nota a piè di pagina chiarisce il significato dei dati di uscita:

Actually, this distribution is really indicated by a power spectral density function, or power spectrum. The amplitude spectrum, with which we deal here, is the square root of this function, and the word amplitude (contrasted with power) is a reminder of this.

Riporto integralmente queste affermazioni in quanto, ritengo, potranno tornare utili ai fini dei dubbi e delle perplessità che nutro sulla corretta interpretazione dei dati in uscita.

Più avanti, Kerr, richiama il teorema del campionamento (o di Nyquist-Shannon) per il quale un insieme di campioni di una funzione del tempo f(t) consente di ricostruire completamente la forma d'onda di f(t) se la frequenza di campionamento impiegata è almeno il doppio della frequenza della componente armonica più elevata tra quelle che costituiscono lo spettro della f(t).

Su tali campioni, poi, possiamo applicare la DFT (Trasformata di Fourier Discreta) per ottenere un eguale numero di campioni - nel dominio della frequenza - che rappresentano una descrizione precisa e completa della trasformata di Fourier (se i campioni di partenza sono stati correttamente campionati in accordo col teorema del campionamento).

Conclude la prima parte dell'articolo richiamando l'attenzione del lettore sul fatto che excel, per il calcolo della DFT, impiega l'algoritmo della FFT (Fast Fourier Transform) e che quest'ultima non è un altro tipo di trasformazione, bensì un algoritmo matematico - altamente efficiente - per il calcolo della DFT.

Quest'ultima nota ci è utile, ad esempio, per comprendere perché excel si aspetta che il vettore dei dati di input sia pari ad una potenza di 2.