FFT sinusoide

[wizard]

Salve a tutti, volevo avere un chiarimento, se possibile, sull'argomento del titolo.
Per fissare le idee nella mia domanda farò riferimento allo spettro di ampiezza monolatero di un segnale sinusoidale.
Facendo la FFT di un segnale sinusoidale, nel momento in cui prendo un numero intero di periodi, vedo un'unica riga spettrale alla frequenza fondamentale, come giusto che sia.
Quando invece vado a prendere un numero intero di periodi più un altro mezzo periodo, ciò che vedo è sempre una componente spettrale alla frequenza fondamentale con la presenza (giusta anche questa) di dispersione spettrale; inoltre mi viene fuori anche una componente alla frequenza 0. Ecco proprio questa non riesco a spiegarmi. perché subentra questa componente continua? E come spiegarla in termini matematici?
Spero di non aver sbagliato sezione

[Lele_u_biddrazzu]

Se non ho capito male ti stai riferendo allo spectral leakage che si ha quando i campioni ottenuti non coprono un numero intero di periodi del segnale in ingresso. Prova a fare una ricerca in rete, dovresti trovare quello che ti serve

[wizard]

Sì l'immagine è questa di sotto
http://s2.postimage.org/8e215iqgp/Immagine_FFT.png
In rete ho provato ma non spiega perché esce fuori la continua -.-

[Lele_u_biddrazzu]

La DFT di una sequenza x(n) a supporto finito di lunghezza N è anch'essa una sequenza a supporto finito della stessa lunghezza; tale sequenza la puoi considerare pari ad un periodo della DFS (Discrete Fourier Series) del segnale in ingresso periodicizzato. Quindi se a partire da un segnale discreto periodico a valore medio nullo, estrai un numero di campioni tale da non coprire un numero intero di periodi, otterrai per periodicizzazione un segnale a valore medio non nullo --> ecco che compare la componente continua
Per ulteriori dettagli, ti invito a consultare qualsiasi testo di DSP (Digital Signal Processing)

[wizard]

mmmmm quindi vediamo se ho ben capito...ogni volta che prendo un numero non intero di periodi del mio segnale e ne faccio la DFT ottengo i 2 impulsi alle frequenze f-f0 e f+f0 più la componente continua del segnale. Intuitivamente mi risulta ovvio ma non riesco a dimostrarlo matematicamente
Un'altra curiosità: potrebbe l'ampiezza di questa componente essere maggiore dell'ampiezza del mio segnale? (non riesco a capire se devo considerarlo come una sorta di valore medio o come offset...se fosse come nel primo caso direi di no altrimenti sì).
Comunque sia grazie ^^

[DirtyDeeds]

In rete ho provato ma non spiega perché esce fuori la continua

Il valor medio di una sinusoide in un intervallo di tempo pari a un periodo e mezzo non è nullo: ecco perché c'è una componente continua.

Volendo vederla in un altro modo, la trasformata di Fourier di un segnale troncato tra e vale



dove è la trasformata di Fourier di e l'asterisco indica il prodotto di convoluzione. Scrivendo tale prodotto per esteso si ha



che particolarizzata per dà



Ciò significa che nel segnale troncato le componenti a frequenza diversa da zero vengono mappate in zero dalla convoluzione con il nucleo . Questo è appunto il fenomeno della dispersione spettrale.

[wizard]

Grazie dirtydeeds è proprio questo quello che mi mancava per chiudere il cerchio
Grazie anche a te Lele

[IsidoroKZ]

Un semiperiodo di una sinusoide puo` essere tutto positivo (o negativo) e quindi avere un valore medio diverso da zero, anzi pari a . Se aggiungi questo segnale in coda a un segnale a valor medio nullo, il valor medio di questo semiperiodo di sinusoide si spalma su tutto il segnale complessivo, ma non va a zero.

[wizard]

Sìsì grazie anche a te isidoro