di Gauss, Cantor e Gödel, 19 anni fa

Ho notato con dispiacere che la cavalcata storica intorno al concetto d'infinito è dedicata in modo quasi esclusivo ai filosofi.

E' noto da tempo che Gauss disse dell'infinito indicandolo come un modo di discorrere di Limiti.
Lo cita malamente Odifreddi nel suo Il Diavolo in Cattedra omettendo la parte finale della dichiarazione di Gauss, esattamente quella che ho riportato.
Ora, sempre che la cosa possa dar giovamento a qualcuno dei frequentatori e chissà mai all'infinito anche al zelante Zeno, l'infinito scaturisce non da un numero finito, il + grande di tutti, ma propriamente da un limite dato da qualcosa di non finito in senso assoluto.
Cosa ci serve per avere qualcosa di infinito in senso assoluto?
Qualcosa di non finito in senso assoluto necessita di 2 componenti della logica e di qualsiasi codice (oggi sono definiti così i linguaggi d'ogni tipo) che raggiunga verità superiori a quelle della semplice geometria piana.
Serve l'autoreferenza con ricorsività.
Cantor di suo ci mise proprio questo ingrediente, ma ne usò uno solo consapevole di farlo, usò la ricorsività con la sua Diagonale.
E aprì un pandemonio nella matematica.
Dai suoi transifiniti uscì qualcosa di buono, l'inizio della fine del positivismo.
Gödel finì l'ottimo inizio della fine di Cantor, lo fece con il suo Teorema di Incompletezza dei Sistemi Formali.
Usava consapevolmente in modo esatto sia l'autoreferenza, che la ricorsivitïà da essa permessa.
INCOMPLETEZZA, ecco cosa generano autorefenza con ricorsività.
Il teorema di Gödel dice molte cose su Logica, Matematica, Linguaggi, o meglio i codici, di cui la più semplice è che esistono verità che non potranno mai essere dimostrate perfino nella semplice aritmetica.
Ciò accade per effetto della curvatura di linguaggio, logica, matematica: quando sono autoreferenziali finiscono per ripiegare su loro stessi anche perché si può analizzarli sempre e solo dall'interno d'essi e sempre e solo dall'interno dell'autoreferenza come noi possiamo analizzare sempre e solo l'universo dall'interno dell'universo (Wittgenstein).
Noi, di tali Limiti, possiamo vedere e capire sempre e solo il lato interno e non altro.
Ciò comporta che stiamo discorrendo di nuovo, come disse Gauss, di Limiti.
Limiti Ultimi Invalicabili.
Ovviamente della conoscenza.
Di tutta la conoscenza.
Non solo di quella matematica.
Kant, di cui qui si cita, anticipa questo problema che verrà poi ben focalizzato ed assiomatizzato da Gödel.
Così cosa ci resta di non autoreferente ricorsivo?
I teoremi che non fanno autoriferimento a loro stessi, cioè la Geometria piana citata in apertura di post.
Essi dal canto loro sono sistemi assiomatici molto deboli e limitati di loro, incapaci di trovare risposte vere facilmente alla portata di un Teorema autoreferenziale ricorsivo.
E' noto che dalla breve e finita catena assiomatica della Geometria Piana discendono infiniti Teoremi Veri e Infiniti Teoremi Falsi.
Come accade?
Ma è la ricorsività !
Ma, allora, l'assunto che per avere l'infinito ci servono autoreferenza con ricorsività è falso?
Beh, a prima vista è un paradosso, o meglio un paradigma, questo può apparire ad uno sguardo superficiale.
La Geometria piana si fonda sui 5 postulati d'Euclide, di cui uno, il quinto, è incompleto, non dimostrabile.
Perché è incompleto?
Ma perché è possibile eliminarlo e facendo questo trovare la Geometria Analitica.
Quindi, anche un sistema assiomatico debole rimane ricorsivo anche se non autoreferenziale, con al suo
interno un postulato che permette di essere escluso, oltre che essere indimostrabile, per aprirsi nuovamente all'infinito autoreferenziale ricrosivo.
Tra l'altro le geometrie non euclidee sono molto + reali in uno spazio tempo curvo, di quello piano euclideo.
Non ci si è fermati alla Geometria Analitica ... .
E così si scopre capendo che non c'è codice che tenga all'autoreferenza ricorsiva.
Finalmente siamo giunti alla maturità, sono sorti i Teoremi e Teorie AUTO-Limitativi.
Con la consapevolezza che non avremo mai e poi mai alcuna verità assoluta perché questo è il dominio in ogni dove dell'incompletezza, dai linguaggi alla fisica stessa.
La Verità (assoluta), benché esista, non è accessibile dal luogo in cui ci troviamo, questo c'indicano i Limiti con il moderno pensiero scientifico.
Conway conclude giocando a far "Dio" quando con una breve catena assiomatica autoreferenziale ricorsiva genera tutti i numeri possibili.
In realtà Conway come prima Gauss, Cantor, Skolem, Gödel, poi Post, Tasky, Turing ed altri ancora, per passare in fisica ad Heisemberg, Bohr e i tanti che li hanno succeduti, c'indicano che l'infinito è nascosto annidato in ogni dove, dall'immateriale al materiale, che la conoscenza ha dei Limiti Ultimi Invalicabili dati dalla stessa struttura del luogo in cui siamo e da cui sorgiamo, perché il luogo stesso è autoreferenziale ricorsivo=infinito in ogni dove, e a oggi la logica li ha esplorati a fondo ed è mia piccola povera convinzione che ne troverà ancora altri. La fisica rispetto a logica, matematica e codici, è un poco + indietro perché necessitano enormi costosissime macchine per comprovare le continue scoperte con sperimetazione, sebbene essa stessa sia indirizzata inevitabilmente in tale direzione con lo sviluppo delle Teorie Quantistiche su cui tutta l'energia si fonda.
Ecco che come scritto in apertura abbiamo trovato l'origine di tutto questo discutere, l'infinito lo percepiamo grazie al fatto che tutto quanto è, è permeato da INCOMPLETEZZA poiché autoreferenziale ricorsivo porgendoci dei Limiti Ultimi Invalicabili.
In sintesi l'unico Assoluto che può generare un infinito è necessariamente INCOMPLETO e infatti l'unico Assoluto che c'è è in effetti l'INCOMPLETEZZA tra i cui effetti c'èl'impossibilità di completezza senza essere autocontradditori, l'impossibilità d'esistenza di altri assoluti, l'impossibilità di dimostrare semplici verità che ricadano nella richiesta interna di coerenza, l'impossibilità di decidere su questioni indecidibili a seguito dell'autoreferenza stessa, offendoci la banalità delle verità tautologiche e antipatiche circolarità nelle spiegazioni o dimostrazioni.
Al momento l'unico che ha fatto una dimostrazione del Teorema di Godel nella Teoria dell'Informazione è Gregory Chaitin.
Nel 1974 Gregory Chaitin ha trovato una versione del teorema di Gödel in termini di teoria dell'informazione.
Consideriamo il concetto di numero casuale, tale cioè che qualunque programma che lo stampi non possa avere lunghezza minore di quella del numero stesso: in questo caso la rappresentazione del numero è la sua più corta descrizione, e non è possibile comprimerla sostanzialmente (come invece è possibile, ad esempio, per `il numero costituito da un 1 seguito da un miliardo di 0', descrizione che richiede sostanzialmente meno di un miliardo di lettere).
Si ha ora la seguente forma del teorema di Gödel: un sistema matematico corretto può provare la casualità soltanto di un numero finito di numeri casuali.
Se così non fosse, esisterebbe un programma pn che lavora come segue: si generano i teoremi del sistema formale, fino a trovare un numero casuale di lunghezza maggiore di n, e lo si stampa.
Poiche i programmi pn sono tutti uguali eccetto che per la menzione del numero n, essi hanno una lunghezza costituita da una parte fissa (una costante c) più una parte variabile (di lunghezza uguale alla lunghezza di n, cioè log n); ed il numero stampato dal programma pn è un numero casuale di lunghezza maggiore di n.
Ma se n è sufficientemente grande questo è impossibile: n è infatti maggiore di c + log n, e quindi il numero stampato da pn ha lunghezza maggiore di quella di un programma che lo stampa, cioè non può essere casuale.
Il vantaggio della formulazione di Chaitin nei confronti di quelle di Gödel e Turing è duplice: essa non richiede autoriferimenti nella dimostrazione, ed esibisce enunciati veri ma non dimostrabili di interesse matematico (e non soltanto logico).
Un piccolo sforzo permette poi di andare ancora oltre.
Chiamiamo complessitïà di un numero la lunghezza del più corto programma che lo stampi, cioè della sua più corta descrizione (così che un numero è casuale se è minore o uguale della sua complessità).
Allora un sistema matematico corretto non può provare che un numero ha complessità troppo maggiore di quella del sistema; più precisamente, deve esistere un n tale che il sistema non può provare di nessun numero che esso ha complessita maggiore di n.
Se infatti il sistema potesse provare, per ogni n, che qualche numero ha complessità maggiore di n, esisterebbe un programma analogo al pn precedente (che stampa, questa volta, un numero di complessità maggiore di n), con conseguenze simili.
Questa è una versione del secondo teorema di Gödel: invece di provare che il sistema non può accorgersi della propria consistenza, prova che il sistema non può accorgersi di complessità troppo maggiori della propria (codificata attraverso la costante c).
Da cui deriva che infatti la Fisica ha intrapreso la via esatta, non siamo in grado di accorgerci di complessità troppo maggiori della nostra, e infatti la sfida della Fisica della Complessità sta aprendoci la via a Limiti Ultimi Invalicabili della conoscenza fisica stessa, altri, come avevo scritto in precedenza in questo post.
Come Borges sono annoiato dai giochi con l'infinito, che a quanto pare, invece, ancora solleticano altrui appetiti d'occhio mentale, poiché ormai son consapevole che vado perdendo tutto, lasciandolo all'altro, di me non può che rimanere la memoria ed in fondo ne sono felice perché questo è un gioco a cui tutti possono giocare e nessuno può vincere, proprio nessuno lo può vincere, questa è l'uguaglianza che dona l'assoluto dell'INCOMPLETEZZA.
E' come se qualcuno dicesse, cerca, cerca, cerca pure, alla fine troverai solo la mia volontà.
Senza dirlo, te lo fa dire a te giocatore che non vincerai mai.
Ogni tentativo d'arrivare alla Verità è condannato a fallire in partenza, come ogni tentativo di non fare codice autoreferenziale è condannato a fallire in partenza, perché anche se si realizza artificiosamente con grande fatica e omissioni innaturali un codice non autorefernziale e con esso si realizza un sistema assiomatico non autoreferenziale con postulati dimostrabili, esso non può essere fisicamente utilizzabile per impossibilità funzionali, vedasi Aritmetica di Presburger, con la quale per fare calcoli un pizzico complessi non basta tutta l'attuale capacità dello spazio tempo per memorizzarli in esso, l'universo ha troppo poco tempo e troppa poca memoria di sistema per tale artificio di codice forzato a non essere autoreferenziale, semplicemente non può funzionare.
Così s'è visto che è uno spostamento del Limite da quello Teorematico a quello Teorico, il ripiegamento continua senza poterci mai sfuggire.

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di admin, 20 anni fa

Minired aveva visto nellï'articolo sullï'infinito, delle esternazioni esoteriche di elettricisti pazzi. Probabilmente non immaginava l'esistenza di un der aufgussmeister che avrebbe approfittato del chiasmo storia dell'infinito-l'infinito della storia per andare oltre i confini elettrici del sito e rendere più elettriche le discussioni.
Vedremo in che modo il popolo elettrico reagirà all'analisi proposta.
Certo che molti, quando le argomentazioni si fanno così ardite, a fatica riusciranno a distinguere il confine tra il serio ed il faceto, ammesso che un tale confine esista e non si estenda ...all'infinito...;-)

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di der aufgussmeister, 20 anni fa

Credo che una degna risposta al tentativo di fare una storia dell'infinito stia nel dare un concetto di infinito storico.
Applicando una profonda scrematura alle tesi sulla storia, queste ultime si possono riassumere in "tempo stregato del destino" e "determinismo".
Entrambe queste definizioni di storia infatti si sono alternate nel corso della storia stessa ed entrambe presupponogono il concetto di infinito: la prima dà una definizione del tempo come un ritorno ciclico e sempre identico a se stesso, un tempo in cui tutto si ripete e l'individuo è condannato ancora prima di essere colpevole (questa concezione la ritroviamo nell'antichità classica, nel barocco e nell'altra faccia del positivismo ottocentesco); la seconda invece dà al tempo un inizio ed una fine-redenzione, ed è legato al concetto di fede (nella divina provvidenza, nel progresso, nello spirito o nella rivouzione).
Il "tempo del destino" è indissolubilmente legato al concetto di infinito proprio in quanto presuppone una ripetizione infinita degli stessi eventi: Blanquie disse che un universo composto inizialmente da 100 elementi semplici che si uniscono in combinazioni dando vita all'esistente, in un tempo infinito è destinato a ripetersi infinite volte; mentre il determinismo è legato ad un concetto di infinito come gratificazione, ovvero come luogo-tempo dove l'individuo potrà redimere la sua esistenza (il paradiso per la religione, la crescita esponenziale del progresso per i positivisti, la parabola ascendente di perfezionamento dello spirito-per i filosofi della storia- o della società-per i marxisti).
A queste due tesi si può aggiungere la concezione degli storicisti che vedono il tempo come contenitore infinito, omogeneo e vuoto, all'interno del quale si dispongono i fatti della storia come semplici avvenimenti da analizzare in maniera oggettiva e additiva attraverso un processo di immedesimazione.
Queste tre concezioni storiche furono facilmente confutate dal materialismo storico, che rifiutava ogni tipo di fede, nella quale vedeva il regresso stesso della società declamava l'impossibile oggettività pretesa dagli storicisti, in quanto pregiudicati dalla storia trascorsa (quasi sempre storia dei vincitori); e rompeva "l'eterno ritorno dell'uguale", non portando il nichilsmo alle sue estreme conseguenze per superarlo (come sosteneva nietzsche), bensì facendo deflagrare il continuum spazio temporale nel momento in cui coglievano momenti del passato le cui pulsazioni si avvertivano ancora nel presente. In questo modo poteva rivivere quell'esperienza nella sua autenticità e soprattutto riuscire nel suo scopo: REDIMERE IL PASSATO, un passato che appartiene tutt'ora agli oppressori e di cui si avvertono ancora gli echi struggenti degli oppressi.
Con questo voglio dire che ogni momento della storia che non ha avuto la sua giustizia, si racchiude monadologicamente in frammenti del presente che sta a noi cogliere per poterli redimere. Non è quindi utile cercare la felicità o la verità nel futuro o nell'infinito perché là non vi giace; bisogna invece cercarla nel passato, o meglio farla balenare nel presente dal passato, riconoscendo ad esso ciò che il potere gli ha sempre tolto. L'infinito che ci opprime è l'infinita oscurità con cui gli oppressori hanno sempre reso torbide le acque della storia per farci credere che fossero profonde.

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di admin, 20 anni fa

L'esoterismo è un atteggiamento spirituale, rito, dottrina e conoscenza da non diffondere pubblicamente.
L'articolo è una breve illustrazione storica del concetto di infinito, diffusa tramite internet, un posto poco segreto.
Lo spazio per ulteriori esternazioni c'è, come si può constatare anche leggendo la nota cui questa risponde.

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di Minired, 20 anni fa

Meraviglioso, un interessante ed approfondito concetto esoterico ; poi non dite che gli elettricisti non sono "pazzi..." Spero che ci sia spazio per altre esternazioni , saluti Minired

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