Ho lavorato per molti anni in una azienda elettromeccanica e ricordo che fra i test proposti ai candidati all'assunzione ve n'era uno particolarmente insidioso che, in apparenza semplice, veniva regolarmente sbagliato dalla grande maggioranza dei candidati.

Il problema proposto era questo:

un trasformatore monofase  da 200W con primario a 220V, alimentato a vuoto (cioè con secondario aperto) assorbe una corrente di  300 mA. Poiché a carico il primario può assorbire una corrente  3 volte superiore, è corretto dire che, sempre a vuoto, il primario potrebbe essere alimentato senza danni fino ad una tensione di 660V?

Un minimo di conoscenza delle basi dell'elettromagnetismo, dovrebbe  far riflettere sul fatto che se il trasformatore è progettato per 220V, la sua corrente a vuoto è già tale da portare il flusso magnetico al limite della saturazione del nucleo su cui sono avvolti primario e secondario, quindi non è possibile aumentare la tensione al primario perché ciò comporterebbe un funzionamento con nucleo saturato, quindi con un aumento vertiginoso della corrente assorbita.

 Scopo di questo articolo  è di entrare più nel dettaglio di questo fenomeno simulandone il comportamento mediante un calcolatore, con l'utilizzo del programma  Mathcad. Si ritiene infatti significativo mostrare una procedura di calcolo in presenza di non-linearità che permetta di valutare gli andamenti "istantanei" (cioè istante per istante) delle singole grandezze in gioco.

La soluzione

Per questa procedura dobbiamo infatti abbandonare il comodo impiego delle grandezze vettoriali (rappresentative degli andamento sinusoidali) e risalire ai principi fisici del funzionamento del trasformatore. Essenzialmente applicando una tensione al primario di un trasformatore, si crea nel nucleo di questo un flusso magnetico  F (in Weber, Wb), la cui variazione si contrappone alla tensione stessa:

v = - Nsp*dF/dt

Per comodità, anziché il flusso è opportuno usare una grandezza specifica, cioè B (induzione magnetica, in Wb/m²), dividendo cioè il flusso per l'area del nucleo. In definitiva, possiamo scrivere  che   v =  k1* dB/dt,  dove k1 tiene conto delle caratteristiche dimensionali e costruttive del trasformatore (numero spire, Nsp, e sezione nucleo). La creazione del flusso magnetico è ottenuta dalla corrente circolante nel primario, secondo la relazione F=L*M cioè dipende dalla "forza magnetomotrice" M  (in As, amperspire) e dalla "permeanza"   L del circuito magnetico.

Se quest'ultimo parametro fosse costante, si potrebbe pervenire ad una relazione lineare fra tensione applicata e corrente circolante (impedenza dell'avvolgimento primario) ma, nel caso di variabilità (cioè di dipendenza di  L da M), occorre procedere ad una simulazione che tenga conto del suo effettivo andamento.

Mathcad, con la possibilità di elaborazione di dati forniti anche in forma tabellare, può  risolvere brillantemente il problema, permettendo di ricavare la corrente che, istante per istante, crea il flusso  che si oppone alla tensione applicata.

Cominciamo quindi col costruire la tabella dell'andamento di F  in funzione di M. In realtà abbiamo detto di utilizzare grandezze specifiche, quindi B al posto di F ed H (As/cm) al posto di M. Questo ci permette di ricavare i dati dai manuali che riportano l'andamento di B in funzione di H, a secondo del tipo di materiale utilizzato per il nucleo.

Mathcad ci permette poi di ricavare da questi dati (ad es. una decina di punti ) una funzione interpolante, lspline(  ). (vedi per riferimento articolo Interpolazioni in questo stesso nello spazio che Electroportal riserva alle applicazioni con Mathcad)

Ecco l'implementazione di questa procedura in Mathcad: