S I M I L I T U D I N E    G E O M E T R I C A

D E I    T R A S F O R M A T O R I

            

 

Lo studio della similitudine geometrica e le conclusioni che da essa si possono trarre permettono di fissare i criteri di progettazione delle macchine elettriche.

In questo caso viene trattata la similitudine geometrica fra trasformatori.

 

 

1.   DIMENSIONI LINEARI, SUPERFICI, VOLUMI

 

Si considerino due trasformatori simili negli elementi geometri­ci, tali cioè che l'uno riproduca in scala "m" volte maggiore l'altro (m = rapporto fra le dimensioni lineari dei due trasfor­matori).

 

Tra gli elementi geometrici si hanno pertanto le seguenti rela­zioni:

 

- Dimensioni lineari

 

- Superfici

 

- Volumi

 

 

I due trasformatori, costruiti con materiali di uguali caratteri­stiche, abbiano inoltre le stesse "utilizzazioni" dei materiali attivi: siano cioè identiche l'induzione B_M nel ferro del nu­cleo e la densità di corrente d nel rame degli avvolgimenti.

 

 

 

2.       POTENZE, PESI, PERDITE

 

Partendo da queste premesse, per i due trasformatori si possono allora ricavare le relazioni riguardanti:

 

-         Le potenze

-         I pesi

-         Le perdite

 

 

q        Relazione tra le potenze

 

La potenza è proporzionale al prodotto della tensione per la corrente:

 

Ricordando che:

 

 

                

 

                          

 

dove:

 

- S_fe = sezione del ferro

- S_cu = sezione del rame

 

si ha:

 

                     

 

cioè la potenza è proporzionale al prodotto delle sezioni del ferro e del rame.

 

Le potenze dei due trasformatori valgono:

 

1)

 

2)

 

Pertanto:

 

 

cioè: Le potenze variano secondo la quarta potenza del rapporto fra le dimensioni lineari.

 

Esempio

 

Se  m = 2 , si ha:

 

 

 

 

q        _{Relazione fra i pesi}

 

I pesi dei materiali attivi sono proporzionali ai volumi. Infatti indicando con  g_sp il peso specifico e con  V  il volume dei mate­riali attivi, si ha:

 

I pesi dei due trasformatori valgono:

 

1)

 

2)

 

pertanto:

 

cioè: I pesi variano secondo la terza potenza del rapporto fra le dimensioni lineari

 

Esempio

 

Se  m = 2 , si ha:

 

 

 

q        _{Relazione fra le perdite}

 

Le perdite sono proporzionali ai pesi dei materiali attivi. Si ha infatti per le perdite nel ferro e nel rame:

 

Pertanto si può scrivere:

 

 

Le perdite nei due trasformatori valgono:

 

1)

 

2)

 

E quindi:

 

cioè: Le perdite variano secondo la terza potenza del rapporto fra le dimensioni lineari.

 

Esempio

 

Se  m = 2 , si ha

 

 

 

 

3.       PESI PER UNITA' DI POTENZA, RENDIMENTI, CORRENTI A VUOTO  PERCENTUALI, SOVRATEMPERATURE

 

In base a quanto visto in precedenza si possono ricavare le rela­zio­ni fra alcuni parametri caratteristici dei trasformatori, e in particolare:

 

 

-         Relazioni fra i pesi per unità di potenza (pesi specifici)

-         Relazioni fra i rendimenti

-         Relazioni fra le correnti a vuoto percentuali

-         Relazioni fra le sovratemperature

 

 

q        Pesi per unità di potenza (pesi specifici)

 

Il peso per unità di potenza (peso specifico) è dato dal rap­porto fra il peso del trasformatore e la sua potenza, cioè:

 

La conclusione che si trae dalla relazione precedente à che:

 

Siccome il peso G aumenta meno della potenza P, il peso per unità di potenza (Kg/KVA) diminuisce al crescere della potenza.

 

Infatti se il peso specifico del primo trasformatore vale:

 

per il secondo si ha:

 

Esempio

 

Per  m = 2 , se per il primo trasformatore si ha, per esempio, g₁ = 10 Kg/KVA, per il secondo si ottiene:

 Kg/KVA

 

    

              

q        Rendimenti

 

Il rendimento di un trasformatore vale:

 

 

Dalla relazione precedente si trae la conclusione che:

 

Siccome le perdite aumentano meno delle potenze, il rendimento aumenta al crescere della potenza.

 

Infatti se il rendimento del primo trasformatore vale:

 

 

per il secondo si ottiene:

Esempio

 

Supponendo che le perdite del primo trasformatore siano pari al 10 %  della  potenza  nominale  (W₁ = 0,1 P₁ , ossia W₁/P₁ = 0,1), si ha:

 

Per  m = 2 , il rendimento del secondo trasformatore vale:

 

 

 

q        Correnti a vuoto percentuali

 

La corrente a vuoto in un trasformatore vale:

 

 

dove il flusso F_M  nel nucleo, la riluttanza  R  del circuito magnetico, le spire  N  valgono rispettivamente:

 

 

                                              

 

 

Sostituendo si ottiene:

 

Tenendo presente che  (volume del ferro), si ha:

 

  

 

Si vede intanto che la corrente a vuoto è proporzionale al volume del ferro.

 

Ricordando, poi, che il valore percentuale della corrente a vuoto vale:

 

e che:

si ottiene:

 

cioè:

 

                    

 

 

Dalla relazione precedente si ricava che la corrente a vuoto percentuale è  proporzionale al rapporto fra il volume del ferro e la potenza e quindi si può dire che:

 

Siccome i volumi aumentano meno delle potenze, la corrente a vuoto percentuale diminuisce all'aumentare della potenza.

 

Infatti se la corrente a vuoto percentuale del primo trasformato­re vale:

 

per il secondo si ottiene:

 

 

Esempio

 

Per  m = 2 , se per il primo trasformatore si ha  I_o%₁ = 8%, per il secondo si ottiene:

 

 

q        Sovratemperature

 

La sovratemperatura di un trasformatore può essere determinata con la relazione:

 

 

La relazione precedente evidenzia che:

 

Siccome le perdite aumentano più delle superfici, la sovratemperatura (a parità di coefficiente di trasmissione del calore) aumenta al crescere della potenza.

 

Infatti se la sovratemperatura del primo trasformatore è:

 

per il secondo si ha:

 

Esempio

 

Supponendo per il primo trasformatore una sovratemperatura  Dq = 60 °C , per il secondo, per  m = 2 , si ha:

 

 °C