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Poligoni e Poliedri regolari

Indice

Dedico questo articolo a TARDOFREAK

Questa volta parliamo un po' di geometria.

I poliedri sono l'equivalente dei poligoni, trasportati nello spazio "solido" cioè a 3 dimensioni. Un poligono è una figura chiusa formata da un certo numero di lati, ossia segmenti, che sono disposti in modo da avere tutti in comune un'estremità, presi a due a due. Nei poliedri, il ruolo dei lati viene svolto dalle facce, che sono a loro volta poligoni.

Mentre con i poligoni, che stanno su un piano (spazio a 2 dimensioni) abbiamo una certa familiarità (triangoli, rettangoli, pentagoni, etc.) non altrettanto si può dire dei poliedri, anche se conosciamo la piramide e il prisma.

Poligoni e poliedri possono essere convessi, concavi, stellati, intrecciati

''Alcuni poligoni: i primi due sono convessi, il terzo è concavo, il quarto è intrecciato e stellato.''

I poligoni regolari sono caratterizzati da una simmetria di rotazione intorno al loro centro, il che porta a uguaglianza di tutti i lati e di tutti gli angoli interni. Di poligoni regolari ce ne sono infiniti, perchè possono avere un numero qualsiasi di lati.

Lo stesso però non avviene per i poliedri regolari, solidi che hanno tutte le facce uguali e che, nello spazio a 3 dimensioni, sono soltanto 5 (a meno che non si voglia aggiungere la sfera come poliedro regolare a infinite facce).

L'articoletto che segue, di A. Giannotta e P. Vergallo, illustra simpaticamente questra singolare proprietà.

Terra, Fuoco, Acqua, Aria e.. i solidi di Platone.

Una tabella riassuntiva dei poliedri regolari, con annesso lo sviluppo piano è la seguente:



Politopi

Ipercubo a 4 dimensioni proiettato sul piano

Ipercubo a 4 dimensioni proiettato sul piano


Fin qui ci siamo fermati allo spazio euclideo a 3 dimensioni.

Ma i matematici, si sa, amano generalizzare. Che succede se si passa a spazi a 4, 5, o più dimensioni? Innanzi tutto il nome cambia: un poliedro generalizzato si chiama politopo. Il termine 'politopo' è stato coniato da Alicia Boole , la figlia di George Boole, quello della logica booleana.

Noi possiamo rappresentare le figure geometriche disegnandole su un piano finchè sono a 1 o a 2 dimensioni. Per dimensioni superiori possiamo usare la proiezione, tramite le regole della geometria proiettiva. In pratica, vengono disegnati tutti i vertici e tutti gli spigoli come se una luce proveniente da un punto proiettasse l'ombra di un solido trasparente; se questo punto si trova all'infinito, i raggi proiettivi sono tutti paralleli e abbiamo un'assonometria. Possiamo anche proiettare un solido nello spazio a 3 dimensioni, ottenendo una scultura o un a stampa 3d, con regole simili.


Un politopo particolare è il simplesso: si tratta del politopo a numero di facce minimo per ogni spazio euclideo. Ad esempio il simplesso nello spazio a 2 dimensioni è il triangolo, mentre quello nello spazio a 3 dimensioni è il tetraedro.
Proiezione ortogonale nel piano dei 9 vertici e 36 spigoli di un Simplesso 8-dimensionale

Proiezione ortogonale nel piano dei 9 vertici e 36 spigoli di un Simplesso 8-dimensionale

Il simplesso viene applicato nella rappresentazione e nello studio dei problemi di ottimizzazione, spesso riconducibili a cercare il minimo o il massimo di una "funzione obiettivo" linerare con vincoli, utilizzando il cosiddetto "metodo del simplesso", nel quale naturalmente non ci addentriamo.

I politopi regolari nello spazio a 4 dimensioni, detti anche "policori", sono elencati di seguito:

dove si vede che sono 6 e in cui le "facce" sono poliedri regolari.

Politopi in spazi a dimensioni crescenti da 1 a 5, proiettati nel piano

Politopi in spazi a dimensioni crescenti da 1 a 5, proiettati nel piano

Per concludere, ecco l'elenco dei politopi a tutte le dimensioni:

Notiamo che dalla sesta dimensione in poi esistono solo 3 politopi convessi e nessun politopo non convesso.

Conclusione

Questa breve carrellata sui solidi regolari ci può richiamare alla mente l'uso della geometria per costruire una mappa (visibile se proiettata sul piano) di situazioni e problemi del mondo reale, che vengono modellizzati spesso in forma di tabella o matrice.

In una tabella, infatti, ogni colonna può rappresentare una caratteristica di un oggetto indipendente dalle altre e quindi essere ricondotta a un concetto di "dimensione". Ad esempio, potremmo avere una tabella di vendite di un prodotto in cui nella colonne si riportano 6 caratteristiche: materiale, colore, volume, costo unitario, quantità, cliente (tutte caratteristiche tra loro indipendenti).

Ogni caratteristica può venire mappata in una dimensione e ogni riga della tabella rappresenta le coordinate di un punto nello spazio a 6 dimensioni. IL contenuto della tabella può essere associata a un politopo (non regolare). La situazione viene cioè rappresentata tramite la geometria.

Tradizionalmente la "dimensionalità" è costituita da un numero intero, ma dal 1975 Benoit Mandelbrot ha definito quegli strani oggetti che sono i frattali. Tra le "stranezze" compare anche il fatto che la loro dimensionalità non è più un numero intero. Ma di questo parleremo un'altra volta.
Frattale di Mandelbrot.jpg

Frattale di Mandelbrot.jpg

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Commenti e note

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Accedo al sito, guardo la home, "Oh un nuovo articolo di Clavicordo, ora me lo leggo"... e non rimango mai deluso :)

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