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da **MarkyMark** » 27 giu 2017, 23:22

Per come hai scritto tu l'espressione si ha:
$\Phi = \pi + \arctan \left( -\frac{\omega {C}}{g_{m}} \right)-\arctan \left( \frac{\omega {C}}{g_{m}} \right)= \pi -2\arctan \left( \frac{\omega {C}}{g_{m}} \right)$
dove ho sommato pi greco poiché la funzione arcotangente restituisce solo angoli compresi tra $-\frac{\pi}{2}$ e $\frac{\pi}{2}$ .
Si sfrutta la seguente proprietà dell'arctan (trovata su wikipedia

)
$\arctan(x)+\arctan \left({1 \over x}\right)={\pi \over 2}$
e si ottiene
$\Phi = \pi -2(\frac{\pi}{2} - \arctan(\frac{g_m}{\omega C})) = 2 \arctan(\frac{g_m}{\omega C})$

PS
scusa

gotthard per la sovrapposizione :)

da **PietroBaima** » 28 giu 2017, 0:06

$\arctan(x)+\arctan \left({1 \over x}\right)={\pi \over 2}$

Se x>0.

Per calcolare le fasi bisogna sempre usare la funzione atan2, non la arcotangente.

da **gotthard** » 28 giu 2017, 0:43

Grazie del chiarimento Pietro. :ok:

In sostanza, siccome la fase di un numero complesso può spaziare in tutto l'angolo giro, è bene calcolarla tramite la atan2.
Altrimenti, ci si trova con l'ambiguità che, ad esempio, 1-j2 avrebbe la stessa fase di -1+j2, oppure 1+j2 avrebbe la stessa fase di -1-j2.

Metto qui il link ad un tuo utile intervento a proposito: viewtopic.php?f=7&t=52738&p=510739&hilit#p510739

:mrgreen:

da **Ianero** » 28 giu 2017, 9:39

Vi ringrazio, chiaro.

Non è più facile ricordarsi questa? :mrgreen:

$\Phi =\arctan \left( \frac{\mbox{Im}}{\mbox{Re}} \right)+\pi \cdot \Theta \left(- \mbox{Re} \right)$

$\Theta$ :

Comunque grazie ancora.
Qualcuno ha mica chiaro anche l'altro punto? :^o

come se il condensatore che accoppia fosse tale da cortocircuitarsi a frequenze audio e di aprirsi a frequenze radio, cosa assurda.

Magari non sarebbe più ovvio metterci un induttore ben dimensionato al posto di quel condensatore :?:

Grazie.

da **PietroBaima** » 28 giu 2017, 10:04

Ianero, mah, questione come uno riesce meglio a memorizzare le formule.
Personalmente non mi riesce di memorizzarla come la vedi tu, ma questo è un problema mio. E' facile che tu non riesca a memorizzarla come la vedo io.

Quando penso alla fase di un numero complesso io vedo il piano complesso e penso che, finché sto nel semipiano destro, non ho problemi perché la arcotangente riesce a darmi valori corretti fino a pi/2 (oppure -pi/2 se "passo da sotto"). Se vado oltre cortina (semipiano sinistro) devo recuperarmi un pi che mi sono perso.

da **Ianero** » 28 giu 2017, 10:26

Massì, la cosa vera da sapere è questa:

Se vado oltre cortina (semipiano sinistro) devo recuperarmi un pi che mi sono perso.

poi infatti uno se la può girare come meglio si facilita la vita.

Grazie.

da **Ianero** » 28 giu 2017, 12:35

C'è anche una ulteriore questione su questo circuito.

Innanzitutto l'analisi fatta per arrivare alla risposta in frequenza è un po' rubata, perché g_m

è funzione del tempo, e quindi in frequenza escono fuori convoluzioni tra spettri.
Ma vabbè, non ho una spiegazione valida di come possa essere semi-corretta anche l'analisi fatta in quel modo.

In più, sempre allo stesso riferimento bibliografico precedente, il libro caccia fuori il seguente ragionamento:

Quanto vale la variazione massima di frequenza introdotta (assumendo ovviamente che invece di m(t) mando in ingresso il suo integrale, per ottenere una modulazione di frequenza anziché di fase)?

Lui dice che:

$\Delta \omega _{\max} = \Delta \Phi _{ \max} \omega _{ \min }$

dove $\omega _{\min }$ è la frequenza più bassa presente nello spettro di m(t)

.

Non riesco a capire perché però.

L'uscita di quel circuito sarà questa:

$v_{out}\left( t \right)=v_{out_{0}}\cos \left( \omega _{p}t+\phi _{0}+\frac{4I_{D{SS}}}{\omega _{p}{C}V_{p}^{2}}\int {m\left( t \right) \text{d}t} \right)$

quindi:

$\Delta \omega \left( t \right)=\frac{4I_{D{SS}}}{\omega _{p}{C}V_{p}^{2}}m\left( t \right)$

dovrei ora trovare il massimo e il minimo di m(t)

per determinare lo shift massimo di frequenza, ma se non conosco il segnale io mi fermo qui.
Come potrei mai andare avanti arrivando a questa:

$\Delta \omega _{\max} = \Delta \Phi _{ \max} \omega _{ \min }$

:?:

Qualche idea?

da **Ianero** » 29 giu 2017, 16:16

Risposte per chi è interessato.

Ianero ha scritto:Innanzitutto l'analisi fatta per arrivare alla risposta in frequenza è un po' rubata, perché è funzione del tempo, e quindi in frequenza escono fuori convoluzioni tra spettri.
Ma vabbè, non ho una spiegazione valida di come possa essere semi-corretta anche l'analisi fatta in quel modo.

$g_m(\omega )$ è composta dalla somma di due spettri: un impulso di Dirac e lo spettro del messaggio.
Se si considera il messaggio a banda stretta, allora $g_m(\omega) \approx k\delta (\omega )$ , e l'antitrasformata è un numero.

$\Delta \omega _{\max} = \Delta \Phi _{ \max} \omega _{ \min }$

$\Delta \omega \left( t \right)=\frac{4I_{D{SS}}}{\omega _{p}{C}V_{p}^{2}}m\left( t \right)$

$\Delta \Phi \left( t \right)=\frac{4I_{D{SS}}}{\omega _{p}{C}V_{p}^{2}}\int {m\left( t \right) \text{d}t}$

ma

$m(t)=\frac{1}{2 \pi}\int_{\omega _{ \min } }^{ \omega _{ \max } } m(\omega )e^{j\omega t} \text{d}\omega$

quindi dopo essere passato per l'integratore lo spettro è diventato:

$\frac{m\left( \omega \right)}{j\omega }$

dove tutte le armoniche alte vengono quindi ridotte in ampiezza, per cui:

$m(t)\approx m_0 \cos (\omega _ {\min }t+ \phi(\omega _ {\min }))$

quindi:

$\int {m\left( t \right) \text{d}t}\approx \frac{m_0}{\omega _{\min }} \sin (\omega _ {\min }t+ \phi(\omega _ {\min }))$

da cui:

$\Delta \omega _{\max} = \Delta \Phi _{ \max} \omega _{ \min }$

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