ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **PietroBaima** » 10 nov 2018, 12:55

Condurmi è la parola meglio riuscita del thread.
Pensa... pensa...

da **Ianero** » 10 nov 2018, 13:08

A me l'unica cosa che viene in mente è che se il campo elettrico in [78] esiste già da $t=-\infty$ , e di conseguenza anche le cariche, allora l'equazione $\nabla \cdot \mathcal{\underline{D}}=\rho$ non vale più, ma vale invece una generale:

$\nabla \cdot \mathcal{\underline{D}}-\rho=\text{const}$

ma ciò non vedo come influisca su rotore e divergenza del campo $\mathcal{B}$ , infatti credo non sia questa la strada giusta da seguire.

Credo che invece la questione possa essere ancora più semplificata, ed è per questo che prima sospettavo di un qualche problema nell'applicazione del teorema di Stokes.
Basta togliere di mezzo l'elettromagnetismo, e considerare un generico campo vettoriale $\mathcal{F}$ che sia vorticoso e radialmente a gradino, annullandosi per r>r_0

. Prendere una superficie circolare di raggio maggiore di r_0

e vedere che il teorema di Stokes non funziona: l'integrale del rotore di campo all'interno non è nullo, ma sul bordo della superficie non c'è campo.

da **Ianero** » 10 nov 2018, 13:12

Ah ecco, forse sto scordando una delta di Dirac in r=r_0

.
Potrebbe essere tutto qui l'intoppo?

da **PietroBaima** » 10 nov 2018, 13:12

SIIIIIII

da **Ianero** » 10 nov 2018, 13:13

Quindi è quella $\delta (r-r_0)$ nell'espressione del rotore che mi annulla l'integrale di superficie?

da **PietroBaima** » 10 nov 2018, 13:15

da **Ianero** » 10 nov 2018, 13:16

Thank you

Grazie a tutti i partecipanti.

da **PietroBaima** » 10 nov 2018, 13:20

Un grazie a te che hai sopportato la mia scarsità di indizi ;-)

Dobbiamo imparare tutti a collaborare per arrivare insieme alla soluzione di un problema. Questo è EY.

da **Ianero** » 10 nov 2018, 15:28

No, neanche.
Scusa, un minuto e sistemo la domanda che mi è sorta adesso.

da **Ianero** » 10 nov 2018, 16:22

La cosa mi crea altri problemi, perdonami.
Abbiamo detto che nel caso di un campo vorticoso $\mathcal{F}$ , radialmente confinato, la cosa torna perché compare una delta di Dirac nell'espressione del rotore di $\mathcal{F}$ . Tutto ok.

Tornando all'elettromagnetismo, il problema risorge quando ( $\mathcal{F}$ diventa ora $\mathcal{B}$ ) diciamo che tale rotore è uguale alla derivata temporale di $\mathcal{E}$ .
Così facendo, la delta di Dirac che salvava il discorso prima, non compare più.
Ho costruito un esempio quantitativo.

Supponiamo di avere un filo conduttore circolare, nel vuoto:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

e di prendere un sistema di coordinare cilindriche, con asse z passante per il centro dell'anello, dove si avrà z=0 e r=0.

Supponiamo di mettere su un campo elettrico così fatto (dove $\mathcal{E}_0$ avrà un'opportuna unità di misura):

$\mathcal{\underline{E}}(r,\phi,z,t)=\underline{z}_0\bigg (u(t)t \bigg )\bigg(\mathcal{E}_0u(-r-r_0)\bigg)$

ovvero assente per t<0

e crescente linearmente per $t\geq 0$ ( r_0<r_1

).

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Dunque:

$\nabla \times \mathcal{\underline{B}}(r,\phi,z,t)=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial \mathcal{\underline{E}}(r,\phi,z,t)}{\partial t}+\mu_0\sigma (r,z)\mathcal{\underline{E}}(r,\phi,z,t)$

dove $\sigma (r,z)$ è la conducibilità nulla ovunque tranne che nell'anello.

Calcolando:

$\nabla \times \mathcal{\underline{B}}(r,\phi,z,t)=\underline{z}_0 \mu_0u(t)\mathcal{E}_0u(-r-r_0)\left (\epsilon_0+\sigma (r,z)t \right )$

Come si può notare, $\nabla \times \mathcal{\underline{B}}(r,\phi,z,t)$ è nullo per r>r_0

.
A questo punto se faccio l'integrale di flusso del rotore attraverso questa superficie:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

ottengo:

$\int _S\underline{n}_0\cdot \nabla \times \mathcal{\underline{B}}(r,\phi,z,t)\mathrm{d}S= 2\pi r_0\mu_0\epsilon_0\mathcal{E}_0u(t)$

che non è nullo.
D'altronde, dal teorema di Stokes quanto ottenuto si può calcolare equivalentemente con:

$\oint _{\partial S}\underline{\phi}_0\cdot \mathcal{\underline{B}}(r_1,\phi,z,t)r_1\mathrm{d}\phi$

ma tale integrale deve essere zero, in quanto come notato prima $\nabla \times \mathcal{\underline{B}}(r,\phi,z,t)=0$ per r>r_0

, che aggiunta a $\nabla \cdot \mathcal{\underline{B}}(r,\phi,z,t)=0$ in tutto lo spazio, conduce a $\mathcal{\underline{B}}(r,\phi,z,t)=0$ per $r>r_0 \Rightarrow \oint _{\partial S}\underline{\phi}_0\cdot \mathcal{\underline{B}}(r_1,\phi,z,t)r_0\mathrm{d}\phi=0$ .

Dunque a quanto pare:

$\int _S\underline{n}_0\cdot \nabla \times \mathcal{\underline{B}}(r,\phi,z,t)\mathrm{d}S\neq \oint _{\partial S}\underline{\phi}_0\cdot \mathcal{\underline{B}}(r_1,\phi,z,t)r_1\mathrm{d}\phi$ .

Dove ho sbagliato?

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