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Grafico campo elettrico

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[1] Grafico campo elettrico

Messaggioda Foto Utenterama » 25 ago 2018, 9:11

Ciao a tutti, ho una domanda sullo svolgimento di un esercizio di fisica.
"Una carica Q = 10 \ \mathrm{\mu C} è disposta uniformemente sul volume di una sfera di raggio R = 20 \ \mathrm{cm} dentro cui si trovano due cavità sferiche simmetriche rispetto al centro, di raggio r = 5 \ \mathrm{cm}.
Determinare il campo elettrico in tutti i punti di una retta passante per il centro della sfera e delle due cavità, disegnandone il grafico."
Ho disposto il centro della sfera di raggio R nel punto O=(0,0) e i centri delle due sfere di raggio r sull'asse x.
Ho calcolato E(x) con la sovrapposizione degli effetti e mi risulta:
\rho = \frac{3Q}{4 \pi (R^3-2r^3)}
0 \le x < r
\mathbf{E}(x) = \frac{\rho}{3 \epsilon_0} \left( x-\frac{r^3}{(2r+x)^2}+\frac{r^3}{(2r-x)^2} \right) \mathbf{u}_x
r \le x < 3r
\mathbf{E}(x) = \frac{\rho}{3 \epsilon_0} \left(2r - \frac{r^3}{(2r+x)^2} \right) \mathbf{u}_x
3r \le x < R
\mathbf{E}(x) = \frac{\rho}{3 \epsilon_0} \left( x-\frac{r^3}{(2r+x)^2}-\frac{r^3}{(2r-x)^2} \right) \mathbf{u}_x
x \ge R
\mathbf{E}(x) = \frac{\rho}{3 \epsilon_0} \left( \frac{R^3}{x^2} -\frac{r^3}{(2r+x)^2}-\frac{r^3}{(2r-x)^2} \right) \mathbf{u}_x
Situazione simmetrica per x < 0.
Dal momento che questo è uno degli 8 punti del compito d'esame, non c'è molto tempo per disegnare il grafico, e quindi vorrei sapere come si può procedere a disegnare il grafico a occhio con questi dati a disposizione perché non mi è venuto nulla in mente.
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[2] Re: Grafico campo elettrico

Messaggioda Foto UtenteIanero » 25 ago 2018, 9:59

Io vedo un mix tra coordinate sferiche e cartesiane.
Ad ogni modo se scegli bene il sistema di riferimento, ad esempio come hai detto, scegliendo l'asse x passante per i tre centri, allora devi fare un solo grafico, che è E_x(x).

PS: wow, LaTeX al primo messaggio :shock: =D>
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[3] Re: Grafico campo elettrico

Messaggioda Foto Utenterama » 25 ago 2018, 10:09

Grazie della risposta, Ianero.
Ho scelto le coordinate cartesiane. R e r sono lunghezze costanti date dal problema.
Potevo scrivere più correttamente, come giustamente scrivi tu, \mathbf{E}_x(x). Le formule restano comunque quelle cose piuttosto lunghe. Il grafico che devo fare è soltanto uno, sì, ma non so come vedere a occhio l'andamento, se sale come parabola, con che concavità, ecc... per ognuno dei 4 tratti [0, r), [r, 3r), [3r, R), [R, +\infty) lungo l'asse x.
So usare il LaTeX ma non disegnare il grafico :oops:
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[4] Re: Grafico campo elettrico

Messaggioda Foto UtenteEcoTan » 25 ago 2018, 10:13

Intanto una carica disposta uniformemente sul volume mi suona strano, forse serve da modello per altri problemi.
Mi pare che hai collocato il centro di ogni sferetta a metà del raggio della sfera grande.
Direi che si sovrappongono 3 grafici:
-il campo della sfera grande supposta piena che cresce linearmente e poi decade 1/x^2
-il contributo della sferetta vicina che cresce poi si inverte linearmente e poi decade
-il ccontributo della sferetta lontana analogamente e in verso opposto decrescente e contrario.
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[5] Re: Grafico campo elettrico

Messaggioda Foto UtenteIanero » 25 ago 2018, 10:18

Ora sono col telefono, appena ci riesco provo a farlo io e lo carico qui.
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[6] Re: Grafico campo elettrico

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 25 ago 2018, 10:37

rama ha scritto:... vorrei sapere come si può procedere a disegnare il grafico a occhio con questi dati a disposizione perché non mi è venuto nulla in mente.

Direi che ricordando il risultato notevole per il campo all'interno di una cavità sferica di una sfera carica con densità di carica volumetrica costante (già affrontato su EY), si dovrebbe poter "vincere facile". :-)

Sostanzialmente, considerando la sfera carica e la sola cavità destra, equivalenti a due sfere cariche compenetrate con densità \rho e -\rho, il campo all'interno della cavità, somma vettoriale dei due campi, entrambi inversamente proporzionali alle distanze dai rispettivi centri, risulta vettorialmente costante in tutta la cavità, con componente non nulla solo lungo x.

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[7] Re: Grafico campo elettrico

Messaggioda Foto Utenterama » 25 ago 2018, 13:29

Grazie a tutti delle risposte.
Procedendo con ordine:
@EcoTan
Sì, si sovrappongono i tre grafici. La questione è: come si può disegnare la somma dei tre grafici a occhio?

@Ianero
Grazie, gentilissimo. Con calma, è sabato 25 agosto. Posso aspettare un po' senza problemi iOi

@RenzoDF
Sì, avevo già letto questa cosa. Con una cavità il campo elettrico all'interno della cavità è costante e dipende soltanto dalla distanza dei centri delle due sfere. Coerentemente fra r e 3r resta la costante 2r a cui si toglie il contributo dato dalla seconda cavità. Quindi in pratica dici che aggiungendo il contributo dell'altra cavità dovrei trovare il risultato? Tra r e 3r quindi possiamo vedere che il campo elettrico cresce come -x^{-2} e questa è già un'ottima cosa :-)
Per quanto riguarda l'andamento delle altre 3 zone lungo l'asse x come possiamo fare?
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[8] Re: Grafico campo elettrico

Messaggioda Foto UtenteIanero » 26 ago 2018, 9:57

Ho rifatto il calcolo anche io, in un riferimento cartesiano dove l'origine è piazzata nel centro della sfera "madre", mentre le due sferette interne hanno centri sull'asse x in posizione rispettivamente x_0 e -x_0.



Siccome è una formula troppo grossa per il LaTeX del forum, e poiché non voglio spezzarla, te la allego come immagine:

gif.latex.gif
gif.latex.gif (9.73 KiB) Osservato 638 volte


Ora direi che fare un grafico qualitativo è semplice. ;-)

PS: se qualcuno sa come inserire direttamente la formula in LaTeX, metto di seguito il codice.
Codice: Seleziona tutto
\mathcal{E}_x(x,0,0)=\left\{\begin{matrix}
\frac{\rho}{3\epsilon_0}\left(-\frac{R^3}{x^2}+\frac{r^3}{(x-x_0)^2}+\frac{r^3 }{(x+x_0)^2}\right) & x\in(-\infty, -R)
\\ \frac{\rho}{3\epsilon_0}\left(x+\frac{r^3 }{(x-x_0)^2}+\frac{r^3}{(x+x_0)^2}\right) & x\in[-R, -x_0-r)
\\ \frac{\rho}{3\epsilon_0}\left ( x_0+\frac{r^3}{(x-x_0)^2} \right )&x\in[-x_0-r,-x_0+r)
\\ \frac{\rho}{3\epsilon_0}\left(x+\frac{r^3 }{(x-x_0)^2}-\frac{r^3}{(x+x_0)^2}\right) & x\in[-x_0+r, x_0-r)
\\ \frac{\rho}{3\epsilon_0}\left ( x_0-\frac{r^3}{(x+x_0)^2} \right )&x\in [x_0-r,x_0+r)
\\ \frac{\rho}{3\epsilon_0}\left(x-\frac{r^3 }{(x-x_0)^2}-\frac{r^3}{(x+x_0)^2}\right)&x\in [x_0+r, R)
\\ \frac{\rho}{3\epsilon_0}\left(\frac{R^3}{x^2}-\frac{r^3}{(x-x_0)^2}-\frac{r^3 }{(x+x_0)^2}\right) & x\in[R, \infty)
\end{matrix}\right.
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[9] Re: Grafico campo elettrico

Messaggioda Foto Utenterama » 26 ago 2018, 10:09

Grazie Ianero,
i risultati mi tornano e sono coerenti con i miei, avendo posto x_0 = \frac{R}{2}. I tuoi sono più generali e vanno sicuramente meglio.
La mia domanda però, anche se da come dici sembra essere una cosa semplice, mi resta: come si fa un grafico qualitativo date queste formule? Soprattutto i tratti da 0 a r e da R-r a R, come si verifica a occhio come crescono? L'ho fatto al computer e non ci sono problemi ma, essendo un esercizio d'esame ed avendo a disposizione pochi minuti per farlo, penso debba esistere una tecnica veloce.
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[10] Re: Grafico campo elettrico

Messaggioda Foto UtenteIanero » 26 ago 2018, 10:22

Nella zona centrale ad esempio, bisogna sommare questi tre, qualitativamente:



che diventa dunque la somma tra questi due:



e infine:

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