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da **Vik** » 21 nov 2009, 14:14

Mi spiace che non si è capito che il gradino moltiplicava solo il coseno...

da **Wed_17** » 21 nov 2009, 14:26

Cavoli io non riesco a trovare l'errore, l'ho tornata a rifare due volte e mi viene sempre uguale

da **RenzoDF** » 21 nov 2009, 14:48

Wed_17 ha scritto:Cavoli io non riesco a trovare l'errore, l'ho tornata a rifare due volte e mi viene sempre uguale

ti sei dimenticato di dividere il termine in seno per 1/2 :!:

$L^{-1}\left[ \frac{1}{s^{2}+a^{2}} \right]\to \frac{\sin (at)}{a}$

e dato che a=1/2 .... moltipplichi per 2 :!:

da **RenzoDF** » 21 nov 2009, 14:51

Vik ha scritto:Mi spiace che non si è capito che il gradino moltiplicava solo il coseno...

colpa mia , era scritto chiaro e tondo :mrgreen:

da **Wed_17** » 21 nov 2009, 15:09

RenzoDF ha scritto:
ti sei dimenticato di dividere il termine in seno per 1/2

$L^{-1}\left[ \frac{1}{s^{2}+a^{2}} \right]\to \frac{\sin (at)}{a}$

e dato che a=1/2 .... moltipplichi per 2

Non è possibile, tornavo a fare i conti e non rifacevo le antitrasfomrate, che sbadato #-o

Grazie Renzo

da **RenzoDF** » 22 nov 2009, 17:37

Rifacciamo tutto con la condizione iniziale sul condensatore, considereremo lo stesso circuito, ma con R=1 e C=1; di conseguenza la tensione su C al tempo t(0-) sarà pari a 1 volt,

$J(t)=1+\cos \left( \frac{t}{2} \right)\cdot u(t) \,\,\,\,\,\,\,\,\,e\,\,\,\,\,\,\,\, v_{C}(0-)=R\cdot1=R\,\,$

Aggiungiamo perciò un generatore di tensione in serie al condensatore (positivo verso il basso) di f.e.m. $E^{*}(s)=\frac{v_{C}(0-)}{s}=\frac{R}{s}$ ; otterremo le due correnti con la sovrapposizione degli effetti, sommando algebricamente il contributo dovuto al generatore di corrente J(s)=f(s) (irs1 e irc1) e di quello dovuto al generatore di tensione $E^{*}(s)$ (i0); e quindi irs = irs1 - i0 , ics = ics1+ i0 .... questa volta prendiamo il verso delle correnti positivo verso il nodo inferiore.

Le istruzione date "in pasto" a wxMaxima sono:

: hk1.gif (8.42 KiB) Osservato 3365 volte

(%i1) -> trasformata Laplace f della corrente erogata dal generatore J(t)
(%i1) (%i3) -> calcolo correnti in R e C dovute a f, usando il partitore di corrente
(%i4) -> calcolo corrente i0 della maglia R-C dovuta al generatore di tensione E*(s)=v(0-)/s

: hk2.gif (11.55 KiB) Osservato 3366 volte

(%i5) (%i6) -> sommo contributi per calcolare le correnti in R (irs) e in C (ics) totali
(%i7) (%i8) -> antitrasformo e calcolo correnti in R (irt) e in C (ict) come funzioni del tempo

: hk3.gif (12.81 KiB) Osservato 3366 volte

(%i9) (%i10) -> particolarizzo le due correnti per i valori R=1 e C=1
(%i11) (%i12) -> le sommo e semplifico per controllo (pari ovviamente alla J(t))
(%i13) -> plotto le tre correnti ir(t), ic(t) e J(t) ottenendo gli andamenti temporali di figura

: kka.gif (13.1 KiB) Osservato 3459 volte

dal quale rileviamo che la tensione sul condensatore, che presenta lo stesso andamento della corrente nel resistore, al tempo t=0+ è ancora pari a 1 volt, in quanto non può presentare una discontinuità.

La corrente nel resistore, semplificando, sarà quindi
$i_{R}(t)=-1+\frac{4}{R^{2}C^{2}\,+4}e^{-\frac{t}{RC\,}}-\frac{2\,\,RC\sin \left( \frac{t}{2} \right)\,+4\,\cos \left( \frac{t}{2} \right)}{R^{2}C^{2}\,+4}\,\,\,\,\,\,\,\,$

lascio a Vik il compito di particolarizzare questa relazione con i reali valori del problema R= 2 ohm e C= 1 microfarad :wink:

Notiamo come la corrente nel resistore sia scomponibile
a) in un termine costante, pari a tutta la componente continua fornita dal generatore
b) in una parte transitoria esponenziale con costante di tempo RC
c) in una parte stazionaria in regime sinusoidale, somma di due termini in seno e coseno e
comunque riconducibile ad un unico termine in quanto, notando che

$\frac{RC}{(R^{2}C^{2}+4)^{{1}/{2}\;}}\sin \frac{t}{2}+\frac{2}{(R^{2}C^{2}+4)^{{1}/{2}\;}}\cos \frac{t}{2}=\sin \alpha \cdot \sin \frac{t}{2}+\cos \alpha \cdot \cos \frac{t}{2}=\cos \left( \frac{t}{2}-\alpha \right)$

l'ultimo termine può essere scritto come
$i_{R\sin }(t)=-\frac{2}{\left( 4+R^{2}C^{2} \right)^{{1}/{2}\;}}\cdot \cos \left( \frac{t}{2}-\alpha \right)$

proprio come atteso :!:

In regime alternato infatti il calcolo sarebbe stato
$\begin{align} & \bar{I}_{R}=-\frac{{\bar{J}}}{R-jX_{C}}\cdot (-jX_{C})=-\frac{{\bar{J}}}{1+j\omega CR}=-\frac{{\bar{J}}}{1+j\frac{RC}{2}}=-\frac{2J}{\left( 4+R^{2}C^{2} \right)^{{1}/{2}\;}}\angle \alpha _{J}-\alpha _{Z} \\ & \alpha =\alpha _{J}-\alpha _{Z}=0-\arctan \left( \frac{RC}{2} \right)\, \\ & i_{R\sin }(t)=-\frac{2}{\left( 4+R^{2}C^{2} \right)^{{1}/{2}\;}}J(\omega t-\alpha )=-\frac{2}{\left( 4+R^{2}C^{2} \right)^{{1}/{2}\;}}\cos \left( \frac{t}{2}-\alpha \right) \\ \end{align}$

***************************

Controlliamo la soluzione trovata per via numerica con l'aiuto di LTspice

costruiamo lo schema, impostiamo i valori R=1 e C=1, ed inoltre inseriamo la condizione iniziale vc(0-)=-1 nella finestra dati del condensatore con un semplice

ic=-1

: uic.gif (7.56 KiB) Osservato 3444 volte

La simulazione in transitorio, di 20 secondi sarà specificata nella riga

.tran 20 uic

dove uic indica a LTspice di considerare le condizioni iniziali impostate

: kLT0.gif (9.29 KiB) Osservato 3468 volte

: kLT1.gif (10.57 KiB) Osservato 3469 volte

da **brabus** » 2 dic 2009, 11:09

Giacche' il topic e' fermo da 10 giorni, e so bene quanto sia fastidioso scrivere una relazione dettagliata e minuziosa, salvo poi vederla completamente ignorata, devo portare i miei complimenti piu' sinceri a RenzoDF. Grazie Renzo, ce ne fosse di gente come te!

Non e' da tutti scrivere (molto spesso, peraltro) relazioni cosi' esaustive ed accurate.

Sono capitato in questo topic per puro caso, ed ho apprezzato molto il "ripasso" che mi ha offerto :!:

da **sebago** » 2 dic 2009, 18:38

brabus ha scritto:... so bene quanto sia fastidioso scrivere una relazione dettagliata e minuziosa, salvo poi vederla completamente ignorata

concordo perfettamente amico brabus, segnalo solo che non è un caso isolato, capita (e sempre più spesso) anche in altri spazi del forum, soprattutto da parte di giovani utenti. Mah, sarà la "cultura mordi e fuggi", solo che in questi casi non aspettano neppure ad aver masticato...
Mi associo anch'io ai complimenti a Renzo che come al solito si è dimostrato il classico geniaccio.
Saluti

da **RenzoDF** » 2 dic 2009, 18:52

Hai ragione sebago, ... capita sempre più spesso :mrgreen:

Grazie a tutti e due per la comprensione

...
è la presenza di persone come voi che mi da la forza per continuare a scrivere le mie "paginate" di calcoli; a volte mi viene da chiedermi se rispondere o meno ai post, e ormai lo faccio più che altro come esercizio personale :mrgreen:

da **Vik** » 8 dic 2009, 16:38

Mi spiace, leggo solo adesso, mi devo scusare con RenzoDF ma ho avuto due settimane di fuoco.
Mi ci vorrà un po' di tempo per analizzare bene la risposta (così dettagliata!!).
Grazie infinite ancora.

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