ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **RenzoDF** » 27 nov 2010, 17:58

Con "un paio" di passaggi si potrebbe anche risolvere scrivendo

$\sin (2t)+6\cos (5t)=6cos^{5}(t)-60sin^{2}(t)cos^{3}(t)+30sin^{4}(t)cos(t)+2sin(t)cos(t)$

:-)

da **DirtyDeeds** » 27 nov 2010, 18:02

Sì, è proprio così.

Il parser non accettava l'espressione perché c'era un astersico di troppo e qualche errore sulle lettere greche: $2 \pi n /\omega_1 = 2 \pi m /\omega_2$

giuggiolo ha scritto:perché nel mio caso ? n non dovrebbe essere un numero arbitrario dato che il periodo del seno e coseno è $2 \pi$ e può essere moltiplicato per qualsiasi n intero?

Nel tuo caso è

$\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{2}{5} = \frac{4}{10} = \frac{6}{15} = \cdots$

quindi potresti prendere $n=2,4,6,\ldots$ , ma se, per esempio, prendessi n=6

otterresti $T = 6\pi\,\text{s}$ , che non è il periodo minimo. Come avevo detto, per convenzione, si prende come periodo di un segnale periodico quello minimo tra tutti gli infiniti periodi possibili. Quindi, per prendere quello minimo devi prima ridurre la frazione n/m

in modo che numeratore e denominatore siano primi fra loro.

da **giuggiolo** » 27 nov 2010, 18:03

e il periodo viene confermato a $2\pi$ ...:)
che formule hai usato per ottenere quella somma equivalente?

da **giuggiolo** » 27 nov 2010, 18:07

ok, tutto chiaro ora! :) grazie a tutti :)

da **RenzoDF** » 27 nov 2010, 18:40

giuggiolo ha scritto: che formule hai usato per ottenere quella somma equivalente?

ho usato le formule generali di enne-plicazione :-)

per il primo termine,

$\sin nt=\sum\limits_{m=0}^{n}{\left( \begin{matrix} n \\ m \\ \end{matrix} \right)}\cos ^{m}t\sin ^{n-m}t\sin \left[ (n-m)\frac{\pi }{2} \right]$

anche se basterebbe la classica du-plicazione

$\sin 2t=2\sin t\cos t$

mentre per il secondo, puo' essere utile ricordare che

$\cos nt=\sum\limits_{m=0}^{n}{\left( \begin{matrix} n \\ m \\ \end{matrix} \right)}\cos ^{m}t\sin ^{n-m}t\cos \left[ (n-m)\frac{\pi }{2} \right]$

da **giuggiolo** » 27 nov 2010, 19:45

queste formule non le conoscevo...grazie delel informazioni a tutti! :)

da **giuggiolo** » 27 nov 2010, 20:49

ciao, scusatemi ma sono ancora qui! :)

siccome anche gli esponenziali complessi sono periodici mi sono chiesto come potessi calcolarne il periodo...ad esempio:

$s(t) = -3 e^{-jt} +(2+j) e^{-1/2jt}+2+(2-j) e^{0.5jt}-3 e^{jt}$

so che per l'esponenziale nella forma
$y(z) = e^{z} \forall z \in \mathbb{C}$

il periodo è

$T=2 \pi j$

infatti
$y(z) = e^z = e^{z+2 \pi j} = e^z e^{2 \pi j} = e^z (cos2 \pi+isin 2 \pi)=e^z$

questo significa che tutti gli esponenziali di s(t)

hanno periodo $2 \pi j$ e quindi che anche s(t)

ha lo stesso periodo (dato che la costante 2 non ha effetti sul periodo ma solo sull'ampiezza)? oppure cambia?

grazie
Giulio

da **giuggiolo** » 27 nov 2010, 21:09

forse ho trovato la soluzione :)

l'esponenziale complesso è periodico di periodo

se

$k e^{ajt} = k e^{aj(t+T)} \Leftrightarrow k e^{ajt} e^{ajT} =k e^{ajt} \Leftrightarrow e^{ajT} =1 \Leftrightarrow ajT =0 + 2 \pi j$

e quindi il pèeriodo di un'esponenziale complesso generico dovrebbe essere:

$T = \frac {2 \pi} {a}$

e da questo deduco anche che il concetto duale a quello di pulsazione delle sinusoidi è la costante moltiplicativa dell'esponenziale...giusto?

Added:
secondo questo ragionamento:
$T_1 = -2 \pi$
$T_2 = -\pi$
$T_3 = \pi$
$T_4 = 2 \pi$

dove gli indici si riferiscono nell'ordine agli esponenziali di s(t)

...adesso il periodo totale dovrebbe essere $2 \pi$ dato che dopo tale quantità tutte le funzioni (che tra loro hanno anche periodo multiplo) hanno "completato" un periodo?
Giulio

da **DirtyDeeds** » 28 nov 2010, 12:01

Innanzitutto, come valore del periodo puoi prendere sempre il valore positivo, perché se una funzione è periodica di periodo

è anche periodica di periodo

. Per dimostrarlo, in s(t) = s(t+T)

sostituisci u-T

a

, ottenendo s(u-T) = s(u)

.

Nel segnale che hai scritto, la prima e la quarta funzione hanno periodo $2\pi$ , mentre la seconda e la terza hanno periodo $4\pi$ . Quindi il periodo della somma è $4\pi$ .

da **giuggiolo** » 28 nov 2010, 12:09

sì, ho avuto una svista nel calcolo dei periodi :) ok allora, penso di aver afferrato tutto :) mi sto esercitando e ci sto prendendo la mano...grazie :)

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periodo di un segnale somma

[11] Re: periodo di un segnale somma

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