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da **RenzoDF** » 10 giu 2017, 18:50

Visto che anche oggi ho del tempo da perdere, provo a descrivere come andrei a risolvere il problema, percorrendo (ovviamente) la strada che a mio parere sembra la più breve.

Come dicevo nei precedenti post "normalmente" il metodo è quello di ricavare dal sistema una equazione differenziale del secondo ordine, oppure quello via spazio degli stati, usando autovalori, autovettori e magari anche matrice esponenziale, a partire dalla equazione matriciale

$\dot x = {A} {x} + {B}u$

ma io direi che per il nostro problema è sufficiente andare a ricavarci i soli autovalori a partire proprio dalla matrice dei coefficienti del sistema di equazioni differenziali del primo ordine

$A=\left(\begin{matrix} -\frac{1}{C_1R_3||R1} & \frac{1}{C_1R_3}\\[5pt] \frac{1}{C_2R_3} & -\frac{1}{C_2R_3||R_2} \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} -\frac{125}{3} & \frac{50}{3}\\[5pt] \frac{100}{9} & -\frac{175}{9} \end{matrix}\right)$

ricavandoli dalla

$\text{det}[ {A}-\lambda {I}]=0$

ottenendo

$\lambda_1\approx-48.12\,s^{-1} \qquad \lambda_2\approx -12.99 \,s^{-1}$

e ricercando di conseguenza la soluzione per la tensione su C2 nella forma

$v_{C2}(t)=K_1e^{-48.12t}+K_2e^{-12.99t}+v_{C2}(\infty)$

nella quale la tensione a regime è facilmente determinabile

$v_{C2}(\infty)=\frac{160}{3}\,\text{V}$

e le due costanti K1 e K2 dalle condizioni iniziali

$v_{C2}(0)=0\,\text{V}, \quad i_{C2}(0)=v_{C1}(0)/R_3=4/5\, \text{A}$

e quindi $K_1\approx -18.23 \text{V}, \quad K_2\approx -35.10 \text{V},$

La soluzione dovrebbe quindi essere la seguente

$v_{C2}(t)=-18.23\,e^{-48.12t}-35.10\,e^{-12.99t}+\frac{160}{3}$

salvo errori idraulici. :mrgreen:

In questo modo ci risparmiamo sia la noiosa esplicitazione e sostituzione della vC1 e della sua derivata sia la determinazione degli autovettori e dei successivi sviluppi.

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Circuito RC secondo ordine con 2 condensatori

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