Laplace complicato?

[Vik]

Salve a tutti,
ho il seguente circuito di cui devo trovare mediante Laplace la corrente i(t) che attraversa il resistore R2.

Laplace.JPG (24.71 KiB) Osservato 9564 volte

Sono arrivato al punto in cui devo cercare i residui per antitrasformare con dei valori "inconsueti" per la tipologia degli esercizi a cui faccio riferimento (tipo una S^3 al numeratore).
So che con MathLab è possibile calcolare l'antitrasformata e mi farebbe comodo per verificare lo correttezza dello svolgimento ma se non sbaglio non esiste una trial version o q.cosa di simile. Ne sapete q.cosa?
Grazie

P.S. Credo di essere migliorato con le immagini anche se l'unico software che mi è sembrato intuitivo e facile è Tina, peccato che la versione demo non mi lasci salvare il file, per cui ho dovuto fare un copia e incolla su Open Office ed esportare in formato jpeg.

[RenzoDF]

Se catturi con Faststone dalla finestra di Tina, fai prima ... se invece vuoi qualcosa di più pulito, copi e incolli in Mdraw e sistemi linee e testo

Per antitrasformare puoi anche usare wxMaxima che è gratis

[Wed_17]

Ma cos'è u(t)?

[RenzoDF]

Con wxMaxima cerchiamo di valutare per via simbolica entrambe le correnti, in questo modo avremo la possibilità di controllare nella parte finale che la loro somma corrisponda alla corrente erogata dal generatore.
Ovviamente R1 non entrerà nei calcoli in quanto in serie con il generatore !

a) Laplace-trasformiamo i(t) (%i1), calcoliamo con il partitore le correnti nel resistore irs (%i2) e nel condensatore (%i3)
funzioni di s e semplifichiamo (%i4) , (%i5),

lap1.gif (25.56 KiB) Osservato 9515 volte

b) anti-Laplace-trasformiamo (%i6) , (%i7) e ,per semplicità, valutiamo le funzioni per R=1 e C=1, e NON per i reali valori del problema (%i8) , (%i9)

lap2.gif (11.15 KiB) Osservato 9511 volte

c) controlliamo che la somma delle due (%i10) , (%i11) sia pari a J(t)

lap7.gif (7.78 KiB) Osservato 9421 volte

e plottiamo l'andamento temporale (%i12) ottenendo

lap8.gif (14.03 KiB) Osservato 9424 volte

dall'andamento notiamo come,
a) al tempo t=0+, la ir(t) sia, come atteso, pari a zero, visto che la tensione sul condensatore non può presentare discontinuità, mentre tutta la corrente del generatore, pari a 2 ampere, entri nel condensatore C,
b) a transitorio esaurito, le due correnti "si mettano in riga" assumendo l'andamento sinusoidale e la classica configurazione in quadratura; la ir(t) che è proporzionale alla tensione su C secondo un fattore 1/2 è quindi in ritardo di 90° su ic(t)
c) tutta la componente continua pari a 1 ampere circolerà nel resistore e il rapporto fra le ampiezze dei termini sinusoidali in R e in C sarà 1 a 1/2, visto che alla pulsazione w=1/2 rad/s la reattanza capacitiva sarà doppia rispetto alla resistenza.

Ricordo che tutto vale con R=1 e C=1

Spetterà a Vik usare i reali valori numerici dell'eserczio.

------------------------------------BTW-----
wxMaxima ci permetterà anche di tradurre in formato latex una qualsiasi formula del foglio di calcolo (%i15)

lap5.gif (7.41 KiB) Osservato 9485 volte

che potrà essere copiata e incollata con il seguente risultato



e così anche per la corrente nel resistore


NB Il verso della corrente è opposto a quello richiesto dal problema

------------------------------------------------------------------------------------------------------eof

[RenzoDF]

Per quanto riguarda lo schema con Tina, non riesco a capire che versione hai usato, ad ogni modo, con un copia e incolla in Mdraw e con l'aggiunta di un po' di testo, si ottiene rapidamente il risultato seguente, per di più salvabile in diversi formati vettoriali o esportabile come immagine

mdraw1.jpg (31.33 KiB) Osservato 9463 volte

in Tina poi, come ho più volte suggerito si può salvare il lavoro fatto
a) con un COPIA dello schema selezionato
b) e aprendo la clipboard, ovvero lanciando clipbrd.exe dal RUN di Windows
c) salvando come file .CLP dall'interno della clipboard

in questo modo il lavoro può essere riaperto successivamente con un semplice doppio click sul file e un INCOLLA nella finestra di Tina.

Secondo trucco, se Tina vi informa che il circuito da simulare è troppo grande per la versione demo

a) aprire il file di esempio DIFFAMP.TSC
b) cancellarne il contenuto
d) incollare il vostro circuito
e) simulare

BTW io consiglio Tina 6 .... non la 5 in Italiano o le vers. 7 - 8

Se invece, come suppongo, "ti piace vincere facile", usa Faststone per catturare direttamente dalla finestra di Tina

tina 3.gif (4.44 KiB) Osservato 9444 volte

[RenzoDF]

Ma cos'è u(t)?

La funzione a gradino del mio coetaneo Heaviside

[Wed_17]

Ciao Renzo,
potresti vedere dove sto sbagliando che non mi trovo col risultato da te postato.
Allora la corrente la posso scrivere come:
che posso scriverla come:

e sviluppando ottengo:

e lo eguaglio a:

da cui ricavo subito A=-1,
,
,

e antitrasformando ottengo:

da cui:

[Vik]

Grazie RenzoDF, in effetti ho scaricato Tina 5 in italiano...però mi premeva chiederti una cosa: probabilmente non ho capito io, ma a me hanno insegnato che prima di passare al circuito in Laplace bisogna considerare le condizioni iniziali. In questo caso sul condensatore c'è una caduta di tensione di -2V. Quindi ridisegnando il circuito per Laplace aggiungo un generatore di tensione in serie con il condensatore e poi comincio a fare i conti...è corretto?

[RenzoDF]

----ma a me hanno insegnato che prima di passare al circuito in Laplace bisogna considerare le condizioni iniziali. In questo caso sul condensatore c'è una caduta di tensione di -2V.

BRAVO, se aspetti ancora un po' a dircelo ...


@wed è vero ... ma mi sa che wxMaxima non lo ha CERTO perso per strada ...dopo do un occhio ai tuoi calcoli

[Wed_17]

Ah bè se la funzione a gradino moltiplica solo il coseno allora si