proprietà impulso di dirac

[904]

Salve , il mio libro dice che la seguente proprietà:

  dice che questo si dimostra usando la definizione di delta di dirac e col fatto che la delta è una funzione pari , ma come si dimostra? non ci sono riuscito provando le varie sostituzioni.
Grazie

[IsidoroKZ]

Come avete definito la delta? Successione di funzioni di prova? mettile al posto della delta e vedi a cosa convergono i vari integrali.

[904]

ci ha dato solo questa definizione :
vale x(0) se 0 appartiene a t1,t2 altrimenti vale 0

[DrCox]

Se consideriamo un rect come segnale di prova, definito in [-T,T] ed avente area unitaria, possiamo definire l'impulso di Dirac come il limite (nel senso delle distribuzioni) per T->0 di tale segnale.
Abbiamo dunque a che fare con una quantità che assume ovunque valore nullo, tranne nell'origine in cui risulta essere unitaria.

Semplicemente applicando tale definizione, l'integrale esteso da a sarà ovunque nullo tranne nell'origine (in virtù del fatto che l'argomento dell'integrale è costituito dal prodotto di due "funzioni", una delle quali assume ovunque valore nullo tranne nell'origine).
Per quanto riguarda l'origine, ivi .
Per questo motivo il risultato finale è dato unicamente dal valore assunto da x(t) nell'origine.

[jordan20]

Non è comunque banale, bisognerebbe entrare nel merito della teoria delle distribuzioni.
Comunque, se può essere di qualche utilità, tempo fa ho scritto questo articolo dove c'è anche la dimostrazione di quanto richiesto da 904

[904]

grazie l'ho capito