Re: Bartlett & Barkhausen

[RenzoDF]

Bravi a tutti e due, è proprio quello che avevo censurato

[RenzoDF]

Cosa sia no lo so, ma secondo me serve per misurare le variazioni di diametro del tronco di un' albero .
Quello sotto dovrebbe essere un encoder, il suo albero è collegato attraverso un filo a un capo della cinghia intorno al tronco e attraverso l' altro filo alla molla che fa da precarico ....

Questa volta ci ho beccato eh ?......

BINGOOOOOOOO Bravissimo Davide !!!

Quello è un proprio un Dendrometro ...

dendrometro.png (494.16 KiB) Osservato 5172 volte

da un vecchio ma interessantissimo testo sui potenziometri che vi posterò a breve.

[RenzoDF]

Eccolo qua

http://www.bourns.com/data/global/pdfs/ ... ndbook.pdf

un po' datato (1975), ma scritto "nientepopodimeno" che per la BOURNS; un manuale direi "storico"

[davidde]

Yeah ! Finalmente un punticino me lo sono guadagnato anch' io ....

E che manuale . 100 pagine di approfondimenti sui potenziometri, che lì per lì sembrerebbero quasi componenti senza particolari complicazioni ...

[BrunoValente]

Eccolo qua

http://www.bourns.com/data/global/pdfs/ ... ndbook.pdf

un po' datato (1975), ma scritto "nientepopodimeno" che per la BOURNS; un manuale direi "storico"

Veramente molto bello... ha tutto il sapore di quegli anni.

[mir]

Bel testo Renzo, non smetti mai di stupire.. ;
Reostati come quello raffigurato a pg 15, mi ricorda gli Esperimenti,di Laboratorio di Misure Elettriche; bei tempi..

[RenzoDF]

Parlando di egiziani e di piramidi con mio nipote, mi è venuta la curiosità di ridare un'occhiata al famoso papiro di Mosca (MMP 14), e da una ricerca su books.google.it sono arrivato quasi direttamente ad un grande testo sull'unità immaginaria
"An imaginary tale: the story of ", di Paul J. Nahin
http://books.google.it/books?id=braQ11b ... id&f=false

dove, a pag.3, si definisce


un "masterpiece of Egyptian geometry"

MMP14.gif (55.83 KiB) Osservato 5092 volte

NB posto anche un'immagine del papiro con traduzione in "geroglifico" per chi non conoscesse lo "ieratico" e in inglese per chi non conoscesse nessuna delle prime due forme di scrittura
http://www.mathorigins.com/image%20grid/MOSCOW_010.htm
... da leggere da destra a sinistra, ovviamente

Si è discusso molto sul come gli egiziani ricavarono questa relazione, e non sarò di certo io a metter lingua sulla questione, ma vorrei chiedere in questo "angolo" di EP come intendereste fare voi, uomini di scienza del 2010, a ricavare nel modo più semplice possibile la relazione (senza uso di matematica superiore); diciamo passando per questi due successivi livelli:

detta a la misura del lato di base e h l'altezza
1) ricavare la formula per il volume della piramide a base quadrata, partendo da una deduzione iniziale con successiva verifica di conferma per altri casi particolari (... strada probabilmente seguita dagli egizi)

detta b la misura del lato della base superiore (b<a)
2) ricavare come conseguenza di quanto ricavato in (1), il volume del "tronco di piramide a base quadrata" (... magari attraverso diverse strade)
***** ovviamente senza uso di internet ... altrimenti NON vale ! ******
==============================================================================

Un rebus geometrico insomma, ma ... senza "girare la rivista"

BTW nella ricerca sul tronco di piramide, annessi e connessi, mi sono imbattuto in http://www2.polito.it/didattica/polymath/
un angolo matematico dove scrive anche l'esimio Professor Beccari, più volte ricordato in EP; imperdibile il suo articolo
http://www2.polito.it/didattica/polymat ... ndezze.pdf]

in una pagina del sito è presente anche un lavoro sul tronco di piramide
http://www2.polito.it/didattica/polymat ... b2ss03.htm

e quindi, come ultimo "compito per le vacanze" per lettori di EP, vi propongo una facile
Caccia all'errore, o meglio agli errori presenti nella pagina
http://www2.polito.it/didattica/polymat ... b2ss03.htm

Attendo soluzioni ... sintetiche

Bibliografia
[1] http://books.google.it/books?id=BkMXFBi ... q=&f=false
[2] http://books.google.com/books?id=9ToLAA ... q=&f=false

[BrunoValente]

Premetto di non saper nulla degli egizi e quindi quelle che seguono sono solo mie riflessioni dettate dal mio buon senso e non è detto che corrisponda a quello degli altri, anzi molto spesso non vi corrisponde affatto.
Ipotizzo che quella gente non fosse molto cosciente della matematica, cioè che la concepisse solo strettamente legata alla geometria e che non fosse in grado di chissà quali livelli di astrazione come invece sappiamo fare noi.
Ipotizzo quindi che i loro ragionamenti fossero strettamente finalizzati a risolvere problemi molto pratici inerenti l’agricoltura e la costruzione di edifici e che non avessero alcuna dimestichezza con equazioni, polinomi, prodotti notevoli ecc.
All’inizio fu sicuramente la necessità di riuscire a stimare la resa produttiva di una certa superficie di terreno che li fece accostare alla geometria, la necessità insomma di prevedere quanto raccolto avrebbe potuto produrre un certo appezzamento di terreno conoscendo le sue dimensioni.
Dopo aver imparato a misurare le lunghezze per confronto con una unità di misura venne elaborato il concetto di area sicuramente per conseguenza di questo tipo di esigenze.
Nei terreni a forma rettangolare dove ad esempio venivano piantati alberi disposti regolarmente ad una certa distanza tra loro apparve presto evidente che per sapere quanti fossero gli alberi, invece di contarli uno ad uno, era sufficiente e più conveniente eseguire il prodotto tra il numero di alberi disposti sui due lati ortogonali.
Subito dopo immagino sia stato elaborato il concetto di proporzionalità: per esempio il numero di alberi su di un terreno di dimensioni doppie non varia se si raddoppia anche la distanza tra gli alberi ecc.
Poi immagino apparve anche evidente che un terreno rettangolare si poteva facilmente dividere in due pezzi di uguale superficie (che producevano entrambi la stessa quantità di raccolto) come nelle figure 1-2-3 e che questi concetti vennero presto estesi dai terreni a tutti gli oggetti che avessero quelle forme.

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La comprensione di questi concetti doveva essere abbastanza immediata perché le parti ottenute dalla divisione avevano la stessa forma e questo fatto poteva essere verificato direttamente guardando, al massimo misurando i lati dei triangoli ottenuti, oppure se si trattava di figure disegnate su carta, ritagliando le parti e verificando che fossero uguali sovrapponendole.

La fig. 4 mette in evidenza un enorme salto di qualità che gli egizi ad un certo punto devono aver fatto: le figure che si ottengono da un rettangolo diviso secondo le diagonali hanno la stessa superficie ovviamente. Ma è davvero così ovvio? direi di no: la forma dei triangoli è diversa e confrontarli non aiuta affatto.
Ritengo che qui sia stato necessario uno sforzo di astrazione non indifferente per capire che hanno la stessa superficie: a qualcuno di loro dotato grande fantasia sarà venuto in mente di dividere ulteriormente i triangoli come in fig.5 per accorgersi che i triangoli più piccoli che si ottengono sono tutti uguali...al massimo alcuni sono rovesciati.
Credo poi abbia dovuto faticare non poco per convincere gli altri che quello strano modo di ragionare avesse un senso (“facciamo finta che i triangoli siano ulteriormente divisi in questo modo...” e l’altro rispondeva ”ma non è vero, il mio terreno non è ulteriormente diviso...a cosa può servire fare finta di dividerlo se poi non si fa veramente?” ecc. ecc.)
A questo punto l’estensione di questi concetti ai solidi deve essere stata immediato e dopo aver imparato a calcolare il volume dei parallelepipedi devono anche aver imparato a dividerli in parti uguali, fig.6 e 7 ed in particolare, fig.8,dove i quattro solidi che si ottengono, pur apparendo di forma diversa, hanno lo stesso volume.

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Devono aver senz’altro imparato a riconoscere la similitudine tra triangoli e in particolare i concetti evidenziati nelle fig. 9 e 10.

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La matematica necessaria ai concetti esposti, trattandosi sempre e solo di questioni inerenti la proporzionalità, si riduce praticamente alle sole frazioni.

Ora faccio vedere come, con la sola conoscenza dei semplici concetti che ho esposto sopra, si possa arrivare alla dimostrazione della formula che mette in relazione il volume del parallelepipedo che contiene una piramide a base quadrata con il volume della piramide e i il volume del parallelepipedo che contiene un tronco di piramide a base quadrata con il volume del tronco di piramide.

Se fossi un egiziano partirei senz'altro da prove empiriche giocando con modellini di piramidi di varia forma realizzati con sottili lamine di legno o simili. Proverei a riempirli di sabbia e a pesarli nella speranza di trovare degli indizi di regole.
Mi troverei nella condizione di saper calcolare facilmente il volume di solidi come i parallelepipedi ma di non saperlo fare per le piramidi...le facce inclinate mi mettono in difficoltà.
Comincerei subito a cercare una relazione tra il volume, che so calcolare, del parallelepipedo che contiene la piramide e quello della piramide contenuta nel parallelepipedo, che non so calcolare, sperando che arrivi qualche nuova idea.

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Probabilmente, così giocando, potrei imbattermi casualmente in tre coppie di piramidi dalla particolare forma come quella in fig.12 che, se opportunamente affiancate, formano un parallelepipedo come in fig. 13 e accorgermi poi che, nonostante la forma diversa, hanno tutte lo stesso volume. Successivamente cercherei di trovare una giustificazione rigorosa con il ragionamento aiutandomi con la geometria che conosco.

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Procederei così: so che il volume del parallelepipedo è dato dal prodotto dell'area di base per l'altezza, so anche che l'area di base coincide con quella della coppia di piramidi che ho chiamato e e che l'altezza corrisponde con il doppio dell'altezza di una delle due piramidi, so che il volume del parallelepipedo coincide con la somma dei volumi dei due parallelepipedi identici che contengono le due piramidi e e anche con la somma dei volumi delle sei piramidi.
So anche che tagliando il parallelepipedo con due piani passanti per le diagonali di una faccia e ortogonali alla stessa faccia ottengo quattro solidi di uguale volume, due dei quali sono rappresentati in figura 14.
Osservando la fig.14 scopro che il volume complessivo è pari alla somma di due volte quello della piramide o e di quello della piramide o e quindi posso scrivere



da cui





e in modo analogo si arriva a



e quindi



che la formula per calcolare il volume della piramide.
In pratica ho capito che la formula per calcolare il volume della piramide è una naturale conseguenza del fatto che un parallelepipedo a base quadrata contiene sempre sei piramidi di ugual volume aventi il vertice al centro del parallelepipedo e le basi coincidenti con le sei facce del parallelepipedo stesso.
Mi chiedo poi se un ragionamento basato su questa scoperta possa tornarmi utile per trovare l’altra relazione: quella tra il volume del tronco di piramide e il parallelepipedo che lo contiene con la stessa base e la stessa altezza.
Sulla falsa riga del precedente esperimento costruisco tre coppie di tronchi di piramide che, opportunamente affiancati formano un parallelepipedo come in fig.15 e osservo che all’interno del parallelepipedo, nella zona centrale, si forma un parallelepipedo vuoto con i lati proporzionalmente più piccoli di quello grande.
Posso pensare il parallelepipedo interno come formato da sei ipotetiche piramidi che sarebbero le parti mancanti delle piramidi originali da cui sono stati ricavati i sei tronchi.

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Il ragionamento mi porta come conseguenza a capire che i sei tronchi hanno tutti lo stesso volume come accadeva per le piramidi e che la somma dei sei volumi corrisponde alla differenza tra il volume complessivo del parallelepipedo grande e di quello vuoto che appare al suo interno.
Prendo in considerazione il solido di fig.16 che ottengo tagliando a metà il parallelepipedo grande con un piano parallelo alle basi e passante per il centro: mi appare come un parallelepipedo con un altro parallelepipedo vuoto al suo interno.
Il volume che mi interessa posso scomporlo in cinque parallelepipedi come in fig.17.
So che il volume del tronco di piramide equivale ad un terzo della somma dei volumi dei cinque parallelepipedi.
Eseguo il calcolo cercando di liberarmi di h1 e allo scopo metto in campo le mie conoscenze sui triangoli simili (fig.18)



cioè



Concludo dicendo che, se è veramente cosi che avrebbe ragionato un egiziano a quei tempi, allora io non sono molto diverso da lui perché è più o meno così che faccio quando mi imbatto nei circuiti.

[RenzoDF]

Caro Bruno sono rimasto esterrefatto sia dal filo logico seguito sia dalla stesura lineare sia dall'elegantissima veste grafica di questo Articolo, cos'altro dire?

"Chapeau"^3



BTW ... direi proprio che DEVI trasformarlo in un articolo, ... basta un semplice CTRL-C -----> CTRL-V

Vorrei solo sottolineare come Bruno abbia Magistralmente dimostrato come il nuovo nostro Tool FidoCad possa essere usato per realizzare grafica 2D e 3D di qualità vettoriale

.... confesso che sono ancora qui che faccio "rotolare" la rotella del mouse per carpire i particolari di questo Capolavoro .... davvero ...
IN-CRE-DI-...BBI-LE !!!

La mia soluzione per il tronco di cono è leggermente diversa, magari nei prossimi giorni provo a descrivere il procedimento geometrico in Fidocad

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