Radici di polinomi con astuzia e sacrificio

[Ianero]

Il titolo è ovviamente scherzoso, ma non troppo.
Mi sono trovato di fronte a un problema che mi ha fornito un metodo incredibilmente potente. Ci ho messo un po' per mettere tutti i pezzettini insieme, ma ne è valsa la pena.
Lo propongo anche a voi di seguito, vediamo se non incuriosiva solo me.

Trovare in forma esatta e senza metodi approssimati tutte le radici del polinomio

Non sono ammesse radici trovate 'a tentativi'

[brabus]

Rompiamo il ghiaccio con la strada canonica:
Notando che il numero intero è una delle 7 soluzioni del polinomio, posso affermare che esso è divisibile per . Divido il polinomio, ottengo il quoto e procedo da lì. Un occhio più allenato del mio potrà individuare un polinomio notevole già scomposto.

Avverto tuttavia che Ianero si riferisce a un metodo di gran lunga più brillante, che sono bramoso di vedere.

[Ianero]

E' una radice trovata a tentativo
Vabbè una te la passo dai, e come continuiamo però? Non possiamo trovarle tutte così, soprattutto se il polinomio diventa più complicato di questo.

...che sono bramoso di vedere.

Se vuoi vederlo tutto ti mando un MP, se invece vuoi giocarci un po' continuiamo qui

[6367]

Vagamente mi ricordo che questo caso si studiava.

[Ianero]

Bello, a me non l'hanno mai fatto vedere, l'ho scoperto giorni fa ma c'è voluto un po' per schiarirmi tutta la strada, sono coinvolte un po' di cose nel percorso.

[rugweri]

Farlo per un'equazione di settimo grado è un po' lungo, quindi magari provo più tardi... ma intanto sparo la mia proposta cretina: e se usassimo le formule di Viète?

[xyz]

Io vedo una costruzione di un triangolo e so' quanto vale il prodotto delle radici e la somma, non sono ancora riuscito a legare queste informazioni per individuare tutte le radici.

[Ianero]

ma intanto sparo la mia proposta cretina: e se usassimo le formule di Viète?

Non ti so rispondere, ma ad occhio mi sembra molto problematico.
Però mai dire mai, fammi sapere se funziona

[rugweri]

L'idea è di scrivere tutte le formule e procedere per sostituzione... per capirci, partendo dalle due equazioni:




Si può ottenere, per esempio, un'espressione di rispetto alle altre variabili... il principale limite evidente di questo approccio è che le espressioni rischiano di diventare davvero complesse, per cui probabilmente la risoluzione con carta e penna non è praticabile

[Ianero]

Suggerimento: considerare le relazioni che possono sussistere, in generale, tra gli zeri di un polinomio e quelli della sua derivata.