Curiosità insieme Q

[DR1]

Se io traccio una linea per terra e dico che quella è il mio limite, ho limitato lo spazio a disposizione.
Ma se questa linea non la traccio, come faccio a dire che ho uno spazio limitato ( non essendoci pareti e ostacoli di altro genere, es lo spazio intero ) ?
Se non esiste in come faccio a dire che quell'insieme è limitato, se il limite non esiste( non c'è l'estremo) ?

[Ianero]

Da come mi sembra di aver capito nell'esempio dei razionali il cui quadrato è minore di 2, non posso determinare un estremo superiore razionale in quanto dato un maggiorante razionale di tale insieme, ne troverò sempre uno più piccolo. Almeno intuitivamente viene da dire così..

DirtyDeeds io sapevo che l'estremo superiore non deve per forza appartenere all'insieme considerato, per questo avevo posto la domanda. Nel caso in cui appartiene si chiama anche massimo, ma può benissimo non appartenere restando estremo superiore.
Però, insomma, se lo dici tu mi fido, non mi ritengo affatto più preparato

[6367]

Quindi secondo te è in ?

In effetti il dubbio è lecito.
C'è una bellissima dimostrazione classica (che radical 2 non è razionale).
Mi ricordo di averla studiata alla scuola media.


PS
Mi fate venir voglia di riprendere il TEX !

[Ianero]

C'è una bellissima dimostrazione classica (che radical 2 non è razionale).

Ti riferisci a quella che parte assumendo che la radice di 2 sia esprimibile come frazione di interi primi tra loro, arrivando all'assurdo che siano entrambi divisibili per 2?

[6367]

Questa.

http://coolmathstuff123.blogspot.it/2011/11/why-2-is-not-rational-or-is-it.html

[dimaios]

DR1 come puoi fare la domanda di seguito dopo che hai scritto il post [11] ?

Se sqrt 2 non esiste in q come faccio a dire che quell'insieme è limitato, se il limite non esiste( non c'è l'estremo) ?

L'insieme di cui stiamo parlando non comprende tutti i numeri razionali ma quelli definiti dalla relazione :



A questo punto e' facile trovare un maggiorante per esempio intero di quell' insieme .

Se invece provi a trovare l'estremo superiore non ci riesci e la dimostrazione la trovi nel post [16].

Le definizioni sono chiare e anche le dimostrazioni. Non capisco le perplessita'.

[DirtyDeeds]

DirtyDeeds io sapevo che l'estremo superiore non deve per forza appartenere all'insieme considerato

Alura, il punto è delicato, ripartiamo dalla tua domanda:

Teorema: Sia X un insieme di numeri reali non vuoto limitato superiormente, allora X è dotato di estremo superiore.

È specificato che questo teorema vale solo per i numeri reali.
Mi sono chiesto: per quale motivo non dovrebbe valere anche per i razionali?

Leggi bene ciò che hai scritto in rosso e riformuliamo il teorema per i numeri razionali:

Teorema: Sia X un insieme di numeri razionali non vuoto limitato superiormente, allora è dotato di estremo superiore.

Riformuliamolo ancora in una forma equivalente:

Sia non vuoto limitato superiormente, allora X è dotato di estremo superiore.

Capisci ora dov'è l'inghippo? può non appartenere a , ma deve appartenere a . Ma la dimostrazione d'irrazionalità di è in realtà proprio una dimostrazione del fatto che non esiste tale che . Quindi quel teorema per i numeri razionali non è valido.

[Ianero]

Si, ci sono.
Credo di aver capito e di aver trovato la risposta alla mia domanda :)
Grazie

[DirtyDeeds]

Comunque non ti preoccupare se non afferri subito certi aspetti della matematica: non sono semplici e ci può volere anche qualche anno per digerirli veramente.

Per chi fosse interessato a un corso di analisi matematica che approfondisca meglio questi aspetti (e con molte applicazioni alla fisica) consiglio

V. A. Zorich, Mathematical analysis I e II, Springer, 2002

Per chi è interessato all'analisi e alla fisica questi due libri di Zorich sono semplicemente superlativi.

Per chi invece fosse interessato agli aspetti più propriamente fondazionali della matematica consiglio

H. B. Enderton, Elements of set theory, Academic Press, 1977

[Ianero]

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