ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **Ianero** » 25 ott 2018, 8:49

E se invece sommassi per un esponente

naturale qualsiasi e facessi vedere che viene sempre un polinomio in

di grado

:

$\sum_{i=1}^n i^k =a_{k+1}n^{k+1}+...+a_1n+a_0$

con la particolarità che:

$\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{i=1}^n i^k}{n^{k+1}}=\frac{1}{k+1}$

:?:

Dai Pietro, ora vienimi a dire "e se

non è un naturale?" :-"

da **PietroBaima** » 25 ott 2018, 17:32

Ianero ha scritto:Dai Pietro, ora vienimi a dire "e se non è un naturale?"

Non hai nemmeno idea di quanto mi piacerebbe avere una risposta a questa domanda :mrgreen:

da **PietroBaima** » 28 ott 2018, 19:24

Per trovare una espressione generale per tutte le somme del tipo

$\sum_{k=1}^n k^2$
$\sum_{k=1}^n k^3$
$\sum_{k=1}^n k^4$
$\sum_{k=1}^n k^5$
...

si può osservare che

(k+1)^2=k^2+2k+1

...

da cui, portando a primo membro il k di grado più alto e sommando tutti i termini fino ad n si ottiene:

$-\sum_{k=1}^nk^2-(k+1)^2=2\sum_{k=1}^n k+\sum_{k=1}^n1$
$-\sum_{k=1}^nk^3-(k+1)^3=3\sum_{k=1}^n k^2+3\sum_{k=1}^n k+\sum_{k=1}^n 1$
$-\sum_{k=1}^nk^4-(k+1)^4=4\sum_{k=1}^n k^3+6\sum_{k=1}^n k^2+4\sum_{k=1}^n k+\sum_{k=1}^n 1$
$-\sum_{k=1}^nk^5-(k+1)^5=5\sum_{k=1}^n k^4+10\sum_{k=1}^n k^3+10\sum_{k=1}^n k^2+5\sum_{k=1}^nk+\sum_{k=1}^n 1$

Posso notare che a primo membro ho una sommatoria telescopica, cioè una sommatoria i cui addendi si annullano tutti, tranne il primo e l'ultimo.
Inoltre, per non avere una notazione troppo pesante, chiamo

$S_0=\sum_{k=1}^n 1$
$S_1=\sum_{k=1}^n k$
$S_2=\sum_{k=1}^n k^2$

eccetera.

Ottengo

(n+1)^2-1=2S_1+S_0

con S0 definito come

(n+1)^1-1=S_0

Questo permette di ricavare la formula definita per ricorrenza:

$S_m=\frac{(n+1)^{m+1}-1-\sum_{j=0}^{m-1}\binom {m+1}{j}S_j}{m+1}$

che permette di ricavare ogni somma di una qualunque potenza m-esima di k.

S_0=n

$S_1=\frac{n(n+1)}{2}$

$S_2=\frac{n(2n^2+3n+1)}{6}$

$S_3=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$

Si può poi ancora andare oltre, sviluppando $(n+1)^{m+1}-1$ con il binomiale:

$(n+1)^{m+1}-1=\sum_{j=0}^{m}\binom{m+1}{j}n^{m+1-j}$

dove ho arrestato la somma non includendo l'ultimo termine per dare conto del -1 al primo membro.

Mettendo tutto insieme si ottiene la formula:

$S_m=\frac{1}{m+1}\left[ (m+1)n+\sum_{j=0}^{m-1} \binom {m+1}{j} (n^{m+1-j}-S_j) \right]$

oppure scritto in modo più sintetico:

$\boxed {\sum_{j=0}^m \binom{m+1}{j}\left(n^{m+1-j}-S_j\right)=0}$

trovata da Faulhaber e oggi importante in meccanica quantistica.

Jacobi, più tardi, troverà l'equivalente formula diretta e non ricorsiva, introducendo i numeri e i polinomi di Bernoulli (tutt'altro che facile da ricavare).

L'idea per ricavare la formula di Jacobi si basa sullo scrivere la formula di Faulhaber sotto forma di matrice:

$\begin{pmatrix} \binom {1}{0} &0 &0& \dots \\ \binom {2}{1} &\binom {2}{0} & 0& \dots\\ \binom {3}{2} &\binom {3}{1} & \binom {3}{0}& \dots \\ & \dots & \dots \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n \\ n^2 \\ n^3 \\ \dots \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \binom {1}{0} &0 &0& \dots \\ \binom {2}{0} &\binom {2}{1} & 0 & \dots& \dots \\ \binom {3}{0} &\binom {3}{1}&\binom {3}{2}& 0 & \dots& \dots \\ & \dots & \dots \end{pmatrix}\begin{pmatrix} S_0 \\ S_1 \\ S_2 \\ \dots \end{pmatrix}$

e cercando delle proprietà della inversa che è necessario scrivere al primo membro per ricavare il vettore degli S (vai

Ianero

)

Come ha dimostrato Giorgio Pietrocola, la matrice dei coefficienti delle varie potenze di S_m

si può ottenere da una matrice costruita dal triangolo di Tartaglia a segni alterni a cui manca l'ultimo uno (questo è dovuto al fatto che quell'uno è stato scritto al primo membro, per comporre la sommatoria telescopica. Ricordate? (k+1)^2-k^2=2k+1

EDIT: corretti un paio di refusi.

EDIT: vedi qui per approfondimenti.

da **brabus** » 28 ott 2018, 19:27

Apprezzo sinceramente il tempo che hai dedicato alla stesura di questo post, Pietro.

Lo sto studiando con grande piacere. =D>

da **PietroBaima** » 28 ott 2018, 19:29

grazie !

da **EdmondDantes** » 28 ott 2018, 19:49

Grande!
L'avevo anticipato in [19].
Mi imbattei in quell'espressione in uno dei tanti esercizi sul principio di induzione.
Tempi passati :mrgreen:

da **Ianero** » 28 ott 2018, 23:39

PietroBaima ha scritto: (vai Ianero )

Mi servono un paio di giorni

da **PietroBaima** » 28 ott 2018, 23:40

Ianero ha scritto:Mi servono un paio di giorni

Tranquillo, Jacobi ci ha messo di più :mrgreen:

da **EdmondDantes** » 28 ott 2018, 23:46

Potrebbe tornare utile il testo di Prasolov sui polinomi.

da **PietroBaima** » 28 ott 2018, 23:56

Oppure un paio di righe di codice Mathematica

Codice: Seleziona tutto: f[0] = n; f[m_] := Expand[ 1/(m + 1)*((m + 1)*n + Sum[Binomial[m + 1, j]*n^(m + 1 - j) - f[j], {j, 0, m - 1}]) ]

da cui

Codice: Seleziona tutto: In[55]:= Table[f[m], {m, 0, 5}] Out[55]= {n, n/2 + n^2/2, n/2 + (5 n^2)/6 + n^3/3, n/2 + (7 n^2)/6 + (11 n^3)/12 + n^4/4, n/2 + (3 n^2)/2 + (7 n^3)/4 + (19 n^4)/20 + n^5/5, n/2 + (11 n^2)/6 + (17 n^3)/6 + (23 n^4)/10 + (29 n^5)/30 + n^6/6}

ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

Aiuto sommatoria

[21] Re: Aiuto sommatoria

[22] Re: Aiuto sommatoria

[23] Re: Aiuto sommatoria

[24] Re: Aiuto sommatoria

[25] Re: Aiuto sommatoria

[26] Re: Aiuto sommatoria

[27] Re: Aiuto sommatoria

[28] Re: Aiuto sommatoria

[29] Re: Aiuto sommatoria

[30] Re: Aiuto sommatoria

Chi c’è in linea

Informazioni

Seguici

Pubblicità

Credits