Ramanujan e l'infinito

[DirtyDeeds]

Ma il teorema è valido anche se la serie non converge? ma allora non è un serpente che si morde la coda?

Il teorema di Cesàro dice che se una serie è convergente nel senso delle somme parziali è anche convergente nel senso della media aritmetica e i due limiti coincidono. Come detto, però, esistono serie che sono convergenti nel senso di Cesàro, ma che non sono convergenti nel senso delle somme parziali. Ma qui non c'è nulla di assurdo, e non c'è neanche un serpente che si morde la coda.

O (mi sorge il dubbio) dobbiamo ridefinire il concetto di "somma" (e prevedo guai grossi)?

Non è che dobbiamo ridefinire il concetto di somma. Quando si parla di somme infinite ci sono modi diversi di definire, in modo coerente, il concetto di somma (la somma di Cesàro è solo uno dei modi): tali definizioni ce le teniamo tutte, e le usiamo quando servono, tenendo presente i teoremi che le legano agli altri risultati dell'analisi.

E' una situazione analoga a quella degli integrali: non c'è una sola definizione di integrale, c'è quello di Riemann, quello di Lebesgue, quello di Daniell ecc. Ci sono quindi funzioni che sono integrabili in un senso, ma non in un altro: perché, quindi, stupirsi se ci sono serie che possono convergere in un senso e non in un altro?

[sebago]

Perdona Dirty, probabilmente il mio errore sta nell'interpretare maldestramente questa proposizione (le serie mi sono state sempre antipaticissime):

se una serie è convergente

ho sempre la tentazione di tradurre: "se il risultato della somma infinita è un numero reale"
E' qui che sbaglio, giusto?
Mon Dieu, sto rivedendo gli incubi di Analisi I

[Ianero]

no, ovviamente tendono ad infinito

Non vedo differenze però, l'uguaglianza vale sempre, anche al limite..

ho sempre la tentazione di tradurre: "se il risultato della somma infinita è un numero reale"

Se siamo nei reali non sbagli, ma devi specificare cosa intendi per somma infinita.
Posso dire che "sommare infinite cose" significa studiare il limite delle somme parziali, oppure posso dire che significa farlo come fa Cesàro, oppure in altri modi. Poi a quel punto devo vedere come sono connessi i vari risultati provenienti dalle diverse definizioni.

Spero di non aver capito male, poi DirtyDeeds mi darà il verdetto su quello che ho detto

[dimaios]

Per chi fosse ancora interessato all'argomento segnalo che Tony Padilla ha aggiunto parte della teoria per la dimostrazione in questo documento dopo che molti hanno sollevato dubbi sulla liceità della dimostrazione presentata nel video.

http://www.nottingham.ac.uk/~ppzap4/response.html

Chiaramente non è quella completa ma ci sono indizi interessanti.