[Algebra lineare] Indipendenza lineare.

[DarwinNE]

J'aimereias bien voir cette démonstration

Définir ce type de détails est laissé en tant qu'utile exercice pour le lecteur

(poi evitiamo di mandare in vacca il thread, che è molto serio, scusa TardoFreak!!!)

[TardoFreak]

"La dimostrazione come esercizio"
Manuale della lavatrice, cosa fare se:
- non si accende: ...
...
- non carica acqua: procedura da trovare come esercizio.

[dimaios]

TardoFreak, l'indipendenza linerare è uno dei concetti più interessanti e utili anche perché applicabile in moltissimi contesti.
Per spiegarlo in modo semplice ad uno studente in genere uso questo esempio che ti invito a guardare.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

La domanda è molto semplice.
Dati e esiste un modo di ottenere "scalando" opportunamente e ?

In pratica ti chiedo se esistono due numeri tali che :



Se risolvi questo sei a 3/4 dell'opera.
Puoi il tutto si può complicare a piacere con gli spazi di funzioni ecc. ma il concetto risulta più chiaro con l'esempio geometrico.

Bisogna fare attenzione a non mettere (troppo) insieme indipendenza lineare e ortogonalità, perché per l'indipendenza lineare è sufficiente la struttura di spazio vettoriale, mentre per l'ortogonalità è necessaria una struttura aggiuntiva, quella del prodotto interno. E l'ortogonalità, per un prodotto interno generico, non garantisce l'indipendenza lineare.

Questo è un concetto molto importante , DirtyDeeds ha fatto bene a sottolineralo, però ritengo che debba essere spiegato più avanti quando si tende a confondere i concetti di indipendenza lineare e l'ortogonalità ( errore abbastanza tipico ).

[cronos80]

Non so se ti sia ormai chiarito le idee, ma butto lì anche il modo in cui a suo tempo mi sono immaginato la dipendenza lineare.

Immagina lo spazio bidimensionale, sappiamo che, una volta definito un sistema di riferimento, qualsiasi punto in questo spazio può essere descritto da una coppia di coordinate.
Ora se il nostro sistema di riferimento è descritto dall'origine e dai due versori , il nostro punto è di fatto un vettore con origine in e termine in .

Siamo in grado a questo punto di scomporre il vettore lungo . Questa è la dipendenza lineare: per identificare puoi sommare i versori opportunamente scalati (cioè, moltiplicandoli per uno scalare).

Che succede se il punto P giace fuori dal piano? Semplicemente non si riesce a scomporre a meno che il punto non coincida con l'origine.
Spero ti possa aiutare.

[marc96]

Bellissima discussione che da peso ad electroyou.
Grazie e +100 punti (per quanto possano valere i miei punti) a tutti i contributi.

[DirtyDeeds]

Non capisco perché i matematici invece di scrivere un libro di matematica di 300 pagine (nel solito modo) non ne scrivno uno di 1200 spendendo del tempo e parole per spiegare bene gli argomenti ed i concetti.

Mo' te lo spiego, TardoFreak

Innanzitutto, non a tutti piacciono i libri di 1000-1200 pagine. Prendendo il Rosen come esempio, ci ho dato un'occhiata e non l'avrei comprato all'università. Per cui ci vogliono libri sia di un tipo che dell'altro, e a livello elementare in genere ci sono di tutti i due i tipi.

Poi, c'è il problema di scriverlo e pubblicarlo 'sto libro. In genere per i libri tecnici viene fatto un precontratto con la casa editrice in cui ci si accorda su quanto più o meno sarà lungo il libro, l'indice, l'impostazione e la data di consegna, diciamo con qualche mese di tolleranza. Se la casa editrice non è interessata a un libro di 1200 pagine di matematica con tuuuuttte le spiegazioni dettagliate, non te lo pubblica. Stop. E' lei che giudica il mercato in base alla sua esperienza, non tu. E poi c'è il fattore tempo. Quanto ci va a scrivere un libro di 1200 pagine? In un libro tecnico, con figure da fare, scrivendo a tempo pieno, uno scrittore medio (cioè non uno di quelli dotati della rara capacità di scrivere di getto già tutto a posto) può scrivere 1-2 pagine al giorno, ma nessun professore universitario può scrivere a tempo pieno per 2-3 anni. Al più un anno se hai la fortuna di riuscire a prenderne uno sabbatico. Il risultato è che la media di scrittura scende in genere sotto la pagina al giorno, che per un libro di 1200 pagine fanno circa 2000 giorni, cioè 6-7 anni, perché poi c'è anche la revisione da fare (se leggi le prefazioni di molti libri tecnici di dimensioni normali tra le 200 e 600 pagine, scopri spesso che sono stati scritti tra un paio d'anni e dieci anni). Ammesso che la casa editrice si dimostri interessata a 1200 pagine, potrebbe non concederti il tempo di scriverlo. E comunque mentre tu scrivi il libro, soprattutto in Italia, qualche riforma potrebbe aver cambiato le carte in tavola e reso il tuo libro non più appetibile.

E infine c'è la remunerazione. Un libro che venda un numero ragionevole di copie, a livello internazionale, ti permette di guadagnare qualche migliaio di euro in più all'anno. E' una cifra accettabile se per scriverlo ci hai impiegato un paio d'anni, un po' meno se ce ne hai dovuti impiegare 6-7.

E per dimostralo porto un controesempio: il libro di matematica discreta di Rosen. Si è preso la briga di scrivere qualche riga in più per approfondire, per spiegare bene, per rendere comprensibili certi concetti.
Guarda caso è quasi 1071 pagine, contro le 457 del Frattini (libro di mxrda, utile quanto un secchiello senza il fondo, soldi buttati nel cesso).

Se guardi un po' di recensioni su Amazon molti dicono del Rosen ciò che tu dici del Frattini (che non conosco), e magari apprezzerebbero più il secondo. Insomma, non tutti i gusti, al solito, sono alla menta.

[TardoFreak]

Grazie per la risposta,
Che interpreto come "La situazione è questa e non può cambiare. Quindi o studi bovinamente senza farti domande (e tutto andrà per il meglio) oppure sono caxxi tuoi".
Ci può stare, malamente ma ci può stare.

Se guardi un po' di recensioni su Amazon molti dicono del Rosen ciò che tu dici del Frattini (che non conosco), e magari apprezzerebbero più il secondo. Insomma, non tutti i gusti, al solito, sono alla menta.

Se lo vuoi te lo regalo (mi occupa solo spazio in biblioteca). Potrebbe servirti se hai un tavolo che traballa.
I miei tavoli sono ben stabili visto che sono anche falegname.

[DirtyDeeds]

Che interpreto come "La situazione è questa e non può cambiare.

E' un mercato come un altro. Quanti mercati sei riuscito a cambiare secondo i tuoi gusti?

Quindi o studi bovinamente senza farti domande (e tutto andrà per il meglio) oppure sono caxxi tuoi"

Le domande te le devi fare, assolutamente, e per le risposte: prima si cerca da sé, poi si chiede al professore e poi c'è Electroyou

E poi ci sono cose che per quanto ti possano allungare la risposta, fare disegni ecc., le capisci comunque dopo 5, 10, 15 o 20 anni. Ovvero, potrebbero darti subito anche un libro di 2500 pagine, ma tu non le capiresti lo stesso (non tu, tu, eh, dico uno qualunque). A me capita ancora adesso di dire: ah, ecco che cosa voleva dire quella cosa che mi hanno spiegato vent'anni fa... oh, beh, mi ci sono voluti solo vent'anni per capirla.

L'avrei potuta capire al tempo se mi fosse stata spiegata in un altro modo, per più ore, con più pagine, più disegnini?

No, perché certe cose ci va comunque vent'anni a capirle.

Uh, ma allora, se era così incomprensibile 'sta cosa, il professore non poteva evitare di spiegarmela quando non ero ancora maturo? (Luke, la Forza...)

No, perché se non me l'avesse spiegata vent'anni fa, io non ci avrei pensato su per vent'anni e non l'avrei mai capita.

(Un po' Zen 'sta cosa, ma alla fine è veramente così)

[TardoFreak]

Mah!

[DirtyDeeds]

Mah!

Quando presi la tesi, a un certo punto mi presentarono un concetto tutto nuovo per me, quello di varianza di Allan. Me lo spiegarono con calma, senza fretta, e poi mi indicarono una pila di articoli relativa a tale oggetto. Oh, è una roba pratica, una formuletta del caxxo, mica alta matematica. Una roba che si usa per caratterizzare gli oscillatori, numeri che leggi su un data sheet. E per anni ne abbiamo discusso: con il mio relatore che poi è diventato mio tutore di dottorato, con i miei compagni di dottorato, con chiunque mi capitasse a tiro che avesse a che fare con l'argomento. E con tutti c'era sempre qualche nuovo dubbio.

Però intanto la usavo, 'sta maledetta. E cercavo di capirla un po' meglio.

Dopo dieci anni, un bel giorno l'ho capita.

Durante il dottorato, ero a una scuola estiva: con dei compagni di corso di varie nazionalità ci stavamo bevendo una birra e discutevamo, guarda un po', sempre di quella roba lì. A un certo punto ci raggiunge un fisico molto bravo e piuttosto noto del nosto campo, ormai prossimo alla pensione. E allora gli spariamo la domanda: senti, noi pensiamo che questa varianza vada sempre usata, anche in altri campi, e che vada insegnata nei corsi di ingegneria, per questo e questo motivo. Tu che ne pensi?

Risposta: mah, forse negli altri campi non ce n'è bisogno, non so.

Talvolta, non basta tutta la vita per capire certi concetti, anche a quelli bravi veramente (sì, adesso viene usata anche in altri campi).

Qualche anno dopo ero a un congresso e uno (bravo anche lui) fa una presentazione su un lavoro di statistica. Quando finisce, alzo la mano e gli chiedo: scusa, ma perché non usare la var... (sì, lei).

Risposta: eh, non tutti la capiscono, e specialmente tra gli statistici classici per motivi psicologici (sì, ha detto proprio così), allora questa è un'alternativa più standard.