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da **DirtyDeeds** » 22 ott 2015, 12:49

clavicordo ha scritto:come fanno due vettori a essere nulli e contemporaneamente diversi da zero?

Considera per esempio lo spazio $\mathbb{R}^4$ e dotalo del prodotto interno (gli apici non sono esponenti, ma indici delle componenti dei vettori $\boldsymbol{x}$ e $\boldsymbol{y}$ )

$\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y} = g(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) = x^1y^1+x^2y^2+x^3y^3-x^4y^4$

Un vettore nullo è un vettore per cui $|\boldsymbol{x}|^2 = g(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}) = 0$ . Esempi di vettori nulli sono (1,0,0,1)

e

.
Il vettore zero è invece il vettore $\boldsymbol{0} = (0,0,0,0)$

Esistono quindi vettori nulli che non coincidono con lo zero. Questo deriva dal fatto che quel prodotto interno, che è quello dello spazio-tempo di Minkowski (o meglio dello spazio vettoriale associato, perché lo spazio-tempo è uno spazio affine) non è positivo definito, come nel caso euclideo, ma indefinito.

Ora considera per esempio un vettore nullo, ma non zero, $\boldsymbol{x}$ e un altro vettore parallelo, $\boldsymbol{y} = a\boldsymbol{x}$ , $a\neq 0$ . Si ha

$\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y} = \boldsymbol{x}\cdot(a\boldsymbol{x}) = a\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{x} = 0$

Poiché il prodotto interno di $\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{x}$ è nullo, i due vettori nulli sono sia ortogonali che paralleli. Si può anche dimostrare l'implicazione inversa, e quindi in quello spazio vettoriale due vettori nulli diversi da zero sono ortogonali se e solo se sono paralleli.

da **clavicordo** » 23 ott 2015, 0:03

$\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y} = g(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) = x^1y^1+x^2y^2+x^3y^3-x^4y^4$

DirtyDeeds mi puoi spiegare da dove salta fuori quel segno "-" nella quarta dimensione?

da **IlGuru** » 23 ott 2015, 0:13

Deriva dalla metrica dello spazio che non è euclideo.
Li sta tutto il succo del discorso, perché la metrica definisce implicitamente la distanza, l'ortogonalitá ecc..

da **DirtyDeeds** » 23 ott 2015, 0:30

Non salta fuori da nessuna parte, dal punto di vista matematico, è solo un esempio di prodotto interno non positivo definito. Ne potevo scrivere altri, ho solo usato quello perché famoso :-)

Comunque si può dimostrare che qualunque prodotto interno su R^n può essere rappresentato, in un'opportuna base, come una somma di quel tipo, dove i primi m termini sono positivi e gli altri n-m negativi. Nello spazio euclideo sono tutti positivi.

da **clavicordo** » 23 ott 2015, 0:42

Bene, ho dato un'occhiata in giro per la rete e ho intravisto quello che dite voi, ossia le metriche diverse per spazi vettoriali non euclidei, che io, non essendo un fisico, non avevo considerato, e che portano a situazioni dove ortogonalità e indipendenza lineare non coincidono.
Se ne può dedurre che in uno spazio euclideo due vettori linearmente indipendenti sono anche ortogonali e viceversa?
No: se sono ortogonali, sono anche linearmente indipendenti, ma se sono linearmente indipendenti non è detto che siano anche ortogonali. Come accade ad esempio in R3 per i vettori v(1,1,-1) e t(1, 1, 1), che sono linearmente indipendenti ma non ortogonali, perché il loro prodotto scalare non è zero.

da **dimaios** » 23 ott 2015, 9:20

DirtyDeeds ha scritto:Non salta fuori da nessuna parte, dal punto di vista matematico, è solo un esempio di prodotto interno non positivo definito. Ne potevo scrivere altri, ho solo usato quello perché famoso

Su Wikipedia utilizza un esempio analogo :

$\langle(x_0,x_1,x_2,x_3),(y_0,y_1,y_2,y_3)\rangle = -x_0y_0 + x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3.$

Dove il primo termine ha segno negativo.

da **DirtyDeeds** » 23 ott 2015, 9:58

In realtà è proprio lo stesso esempio, si passa da una segnatura all'altra tramite un semplice riordinamento delle basi ortonormali.

L'esempio è classico perché corrisponde alla metrica di Lorentz, cioè la metrica della relatività ristretta, e ogni fisico ha la sua segnatura preferita, +++-, -+++, +---, ---+. Ciò che si conserva è il numero di + e -.

Il fatto che ogni metrica si possa "diagonalizzare" in quel modo deriva da una generalizzazione del metodo di Gram-Schimdt.

da **sebago** » 23 ott 2015, 19:12

.. e dal profondo abisso siderale si sentì la voce tonante di

DirtyDeeds che diceva a

TardoFreak: "Ho visto cose che voi umani ...." :shock:

da **sebago** » 23 ott 2015, 19:20

Dopo che leggo questi post mi dico: "mi sa che ho fatto bene a non cedere alla tentazione di fare matematica"
Intendiamoci, i post sono affascinanti e non me ne perdo uno, ma della maggior parte ci capisco lo zerovirgolapercento.
Epperò sono belli lo stesso, per me è come andare a una mostra di Caravaggio e capire che pur non essendo io minimamente capace di fare neanche uno schizzetto elementare, apprezzo la bellezza dei quadri.
Dénghiu.

da **Ianero** » 14 nov 2015, 13:53

Spero di riuscire anche io a darti una mano

TardoFreak, ci provo.
Una interpretazione molto grafica dell'indipendenza lineare di vettori (un vettore può essere qualsiasi cosa -poiché uno spazio vettoriale può essere un insieme di elementi di ogni genere- ma adesso vediamoli solo come vettori nello spazio euclideo di dimensione 1,2,3, ...).

Questo è lo spazio euclideo di dimensione 1, una retta:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

e adesso prendiamo un vettore di questo spazio:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Scalando questo vettore $\vec{v_1}$ con un opportuno coefficiente c_1

reale, ottieni tutti i vettori possibili linearmente dipendenti a $\vec{v_1}$ , ecco un esempio:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

$\vec{v_2}=c_1 \vec{v_1}$

Inoltre come si vede, scalando $\vec{v_1}$ "riempi" tutta la retta, ovvero riesci a ottenere ogni possibile vettore sulla retta, in altre parole hai anche trovato una base di quello spazio.

Andiamo avanti.
Scalando $\vec{v_1}$ posso ottenere questo vettore nella figura sotto $\vec{v_2}$ ?

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

La risposta è no, come puoi immaginare, perché scalando $\vec{v_1}$ continuerai a fare avanti e indietro solo sulla retta, ma non al di fuori di essa.
Ecco che allora $\vec{v_1}$ e $\vec{v_2}$ sono diventati linearmente indipendenti (non puoi ottenerne uno semplicemente scalando l'altro).
Bene, ora combiniamoli.
Scalandoli in ogni possibile maniera e successivamente sommandoli cosa riusciamo a riempire? Un piano.
Infatti:

$\vec{v_1}+\vec{v_2}=\vec{v_3}$

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

o ancora:

$2\vec{v_1}+\vec{v_2}=\vec{v_3}$

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

oppure:

$3\vec{v_1}+(-0.5)\vec{v_2} =\vec{v_3}$

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

e così via in generale:

$c_1 \vec{v_1}+c_2 \vec{v_2}=\vec{v_3}$

Inoltre, poiché riesci a riempire tutto il piano, hai anche trovato una base dello spazio euclideo di dimensione 2 (la base è formata da $\vec{v_1}$ e $\vec{v_2}$ , e ogni vettore del piano sarà linearmente dipendente da questi due).

Ora puoi estendere ancora:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Scalando e sommando in tutti i modi possibili $\vec{v_1}$ e $\vec{v_2}$ riuscirai mai a ottenere $\vec{v_3}$ ? La risposta è ovviamente no, ecco che allora questi 3 sono tra loro adesso linearmente indipendenti.
Combinandoli in questo modo:

$c_1 \vec{v_1}+c_2 \vec{v_2}+c_3\vec{v_3}$

cosa riesci a "riempire"? Hai trovato quindi una base di quale spazio? E quale sarà ora un vettore che non potrai esprimere come combinazione lineare di questi 3? Ovvero quale sarà un vettore linearmente indipendente da questi 3?

Spero di esserti stato utile in qualche modo, un saluto.

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[Algebra lineare] Indipendenza lineare.

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