Residui e Cauchy-Goursat

[Millex]

salve, ho qualche dubbio sulla risuluzione degli integrali.





Risolvendo questo integrale trovo che il denominatore si annulla per z1=1/2 e z2=-1/2i.

Ora qui nascono i problemi perché se uso il teorema dei residui l'integrale mi esce
Mentre per il teorema di Cauchy-Goursat lo stesso integrale siccome la funzione è olomorfa e le soluzioni non appartengono a sarebbe .

Usando la soluzione con i residui un integrale non potrà mai essere uguale a ?
Cosa mi sfugge?

[dimaios]

Ora qui nascono i problemi perché se uso il teorema dei residui l'integrale mi esce

Lo applichi su quale curva chiusa ? Una che contiene le due singolarità all'interno ? Altrimenti che senso ha impiegare il teorema dei residui ?

Rileggi bene il significato del teorema di Cauchy e l'applicazione del teorema dei residui per il calcolo integrale in campo complesso.

Traccia la curva con FidoCADJ ed indica dove sono le singolarità della funzione.

Se vuoi fare un utile esercizio di comprensione calcola l'integrale sulla curva utilizzando la definizione.

[Millex]

Grazie per la risposta,quindi:



Le ipotesi del teorema di Cauchy-Goursat sono:
Sia una funzione olomorfa definita su un dominio semplicemente connesso allora per ogni curva chiusa e regolare


Mentre per il teorema dei residui la funziona deve essere olomorfa esclusi i punti in cui la funzione si annulla.
Nel integrale precedente entrambi i poli non appartengono all'insime quindi l'integrale dovrebbe essere invece è uguale a per il teorema di Cauchy-Goursat.

un altro esempio



Stesso problema di prima con i residui mi esce
Mentre la soluzione esatta è perché si usa il teorema di Cauchy.

Non riesco proprio a capire quando è possibile usare l'uno o l altro.

[dimaios]

Stesso problema di prima con i residui mi esce

Ti esce da dove ? ( per cortesia non rispondere a questa domanda ). Semmai ti risulta.

Ti rendi conto di cosa hai scritto ?


Inoltre:

1) Nel primo esercizio vorrei vedere dov'è la curva chiusa e regolare visto che è l'ipotesi per l'applicazione del teorema. Hai ipotizzato dei tagli ? Se la risposta è si, dove ?

2) Nel secondo esercizio vorrei vedere il disegno della curva e dove sono situati i punti singolari.


Ad ogni modo sarebbe opportuno che tu pubblicassi anche i risultati attesi nel caso li conoscessi.

[Millex]

1)Dalle soluzione il primo integrale è .
Per me la curva regolare sarebbe il rombo celestino

2)(la soluzione riportata sul libro è )la curva del secondo esercizio dovrebbe essere un cerchio di raggio centrato in implica che entrambi i poli si trovano all'interno della circonferenza.Quindi con il teorema dei residui:

nonostante ci sia una moltiplicazione il risultato dovrebbe essere e non ? Ricordo che a lezione svolgendo un integrale simile quando la sommatoria dei residui era uguale a il risultato dell intregrale era

[DirtyDeeds]

Per me la curva regolare sarebbe il rombo celestino

All'anima della curva regolare

Non è che magari quella regione è il dominio della funzione? Puoi riportare il testo completo dell'esercizio?

[dimaios]

Per me la curva regolare sarebbe il rombo celestino

1) Il "rombo celestino" è un'area non una curva.

2) Quello che hai scritto è privo di senso.

( DirtyDeeds mi ha preceduto nella risposta comunque anche io volevo chiederti di pubblicare il testo integrale dell'esercizio ).

[Millex]

Purtroppo non ho il testo completo dell'esercizio .

Nel secondo esercizio sono abbastanza sicuro sia una circonferenza di raggio e centrata in .Ora mi accorgo che la scritta in quella maniera è una cavolata.

Il mio problema è capire quando posso usare il teorema dei residui e quando quello di Cauchy-Goursat?
Usando il teorema dei residui un integrale può risultare uguale a 0?