ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **obiuan** » 9 dic 2015, 14:13

Salve a tutti.

L'altro giorno mi si è presentato questo limite banale:

$\lim_{x\rightarrow 0^+}{(\sqrt{9x^2 + 1} - 1)(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x})}$

che fa abbastanza semplicemente 9/2.

Il problema che ho è nel seguente procedimento, che da un risultato diverso ma non riesco a capire dove sta l'errore (sarà una banalità, ma proprio non lo vedo):

$\lim_{x\rightarrow 0^+}{(\sqrt{9x^2 + 1} - 1)(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x})} =$

(trascuro $\frac{1}{x}$ rispetto a $\frac{1}{x^2}$ )

$\lim_{x\rightarrow 0^+}{(\sqrt{\frac{9x^2 + 1}{x^4}} - \frac{1}{x^2})} =$
$\lim_{x\rightarrow 0^+}{(\sqrt{\frac{9}{x^2} + \frac{1}{x^4}} - \frac{1}{x^2})} =$
$\lim_{x\rightarrow 0^+}{\frac{1}{x}\sqrt{9 + \frac{1}{x^2}} - \frac{1}{x^2}} =$
$\lim_{x\rightarrow 0^+}{\frac{1}{x}\sqrt{\frac{1}{x^2}} - \frac{1}{x^2}} =$
$\lim_{x\rightarrow 0^+}{\frac{1}{x^2}- \frac{1}{x^2}} = 0$

probabilmente c'è qualche passaggio illecito...

grazie per l'aiuto
ciao
Obi

da **PietroBaima** » 9 dic 2015, 23:42

L'errore sta nel togliere pezzi di funzione in modo arbitrario dal limite.
È possibile farlo inserendo gli o piccoli, ma bisogna stare attenti a non togliere pezzi che ricadrebbero fuori dall'o piccolo oppure lasciare solo un o piccolo ad un numeratore o denominatore.
Facendo come viene illustrato in quella soluzione posso dimostrarti che è possibile far venire un risultato qualunque, anche infinito o che il limite non esiste.

In realtà quando si ha a che fare con forme indeterminate con radici il modo giusto e veloce di operare è quello di °antirazionalizzare°, così:

$\lim_{x\rightarrow 0^+}{(\sqrt{9x^2 + 1} - 1)(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x})} =$

$\lim_{x\rightarrow 0^+}{\frac{(\sqrt{9x^2 + 1} - 1)(\sqrt{9x^2 + 1} + 1)}{\sqrt{9x^2 + 1} + 1}\frac{1+x}{x^2} } =$

$\lim_{x\rightarrow 0^+}{\frac{9x^2 + 1 - 1}{\sqrt{9x^2 + 1} + 1}\frac{1+x}{x^2} } =\lim_{x\rightarrow 0^+}{\frac{9}{\sqrt{9x^2 + 1} + 1}(1+x)}=\frac{9}{2}$

È da notare che questo trucco non funziona solo in questo caso, ma quasi sempre perché riesce ad eliminare la forma indeterminata del limite.

Ciao,
Pietro.

PS: ma dov'è mia moglie, che sono tre ore che aspetto, mah...

da **dimaios** » 9 dic 2015, 23:59

PietroBaima ha scritto:PS: ma dov'è mia moglie, che sono tre ore che aspetto, mah...

Il tempo di attesa per l'arrivo di una donna potrebbe non avere limite! :mrgreen:

da **IsidoroKZ** » 10 dic 2015, 0:02

obiuan ha scritto:probabilmente c'è qualche passaggio illecito...

No, illecito no, ma hai trascurato un pezzo di troppo. Qui
$\lim_{x\rightarrow 0^+}{\frac{1}{x}\sqrt{9 + \frac{1}{x^2}} - \frac{1}{x^2}} =$

non puoi tralasciare l'addendo "9" altrimenti viene un infinito meno infinito che fa notoriamente 42 :-)

$\lim_{x\rightarrow 0^+}{\frac{1}{x}\sqrt{\frac{1}{x^2}\left (9x^2 +1\right ) } - \frac{1}{x^2}} =$

Quando si usano gli sviluppi asintotici bisogna vedere a che punto fermarsi, altrimenti si rischia di perdere qualche termine importante che sopravvive dopo una sottrazione.

da **PietroBaima** » 10 dic 2015, 1:32

dimaios ha scritto:Il tempo di attesa per l'arrivo di una donna potrebbe non avere limite!

da **obiuan** » 10 dic 2015, 2:18

Ciao e grazie a tutti per le risposte.

PietroBaima ha scritto:In realtà quando si ha a che fare con forme indeterminate con radici il modo giusto e veloce di operare è quello di °antirazionalizzare°

è il modo che ho usato per ottenere quel 9/2. Il mio dubbio non stava su "come risolvere" il limite, ma proprio su dove fosse l'errore nel procedimento scritto.

A questo proposito...fra questo:

PietroBaima ha scritto:L'errore sta nel togliere pezzi di funzione in modo arbitrario dal limite.

e questo...

IsidoroKZ ha scritto:non puoi tralasciare l'addendo "9" altrimenti viene un infinito meno infinito che fa notoriamente 42

(a parte la battuta sul 42 che apprezzo particolarmente), grandi, grazie!! ho capito dove stava la fesseria.

Per l'esattezza, direi qui:

$\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^2} = 0$

trattandosi di sviluppi asintotico, quella è una forma indeterminata, quindi non fa 0...fa appunto 42

grazie mille

PS: Pietro, mi spiace non poterti aiutare con la moglie...quando si parla di donne, non c'è teoria che possa servire a prevederne il comportamento

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Errore in un limite

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