Esistenza della trasformata di Fourier

[Flamber]

Considerando un qualsiasi segnale , molto spesso si dice che essa è trasformabile (secondo Fourier) se esso è ad energia finita o comunque a modulo integrabile. Il libro sottolinea come la prima, ma anche la seconda, siano condizioni sufficienti più forti del necessario perché esista la trasformata.

Sul libro "Digital Signal Processing" - Oppenheim/Schafer trovo solo le condizioni sufficienti per i segnali a tempo discreto.

[simo85]

Sul libro "Digital Signal Processing" - Oppenheim/Schafer trovo solo le condizioni sufficienti per i segnali a tempo discreto.

Sul "Signals and Systems" trovi tutto per quelli continui e discreti. Il "Digital Signal Processing" è, come appunto dice il titolo, orientato al DSP.

[Flamber]

Ho dato un'occhiata anche su quello, ma niente. Comunque, da quanto mi pare di aver letto in giro, la questione è ancora abbastanza dibattuta, e ci sono più interpretazioni. Insomma non è una cosa da liquidare con due righe, e magari richiede anche concetti matematici che non conosco. Quindi, domanda ritirata, mi accontenterò di "tutti i segnali ad energia finita sono trasformabili"

[dimaios]

E' un problema piuttosto complesso.

https://www.jstor.org/stable/1968324?seq=1#page_scan_tab_contents

Registrandoti dovresti poter leggere integralmente l'articolo.

In alternativa vedi se in biblioteca avete questo libro :

D. C. Champeney, A Handbook of Fourier Theorems,
Cambridge University Press, 1987.

[Flamber]

Ho letto l'articolo, e penso di averne capito il senso generale, anche se l'ho trovato matematicamente troppo formale per il mio livello (ho qualche difficoltà a districarmi nei deliri dei matematici, e sono 8 pagine abbastanza dense di deliri di un matematico X nel 1931). Integrando le mie conoscenze con qualcosa di wikipedia, sono arrivato alla fine, ma il punto è che adesso sono più confuso di prima.

Ad ogni modo, mi pare di aver capito, che la trasformabilità di un segnale è comunque legata all'energia del segnale stesso (o comunque alla sua "lunghezza" parlando di spazi metrici). Ma come ho già detto, pensavo che la questione fosse un po' più facile. Invece a quanto pare, tocca concetti matematici abbastanza profondi, nei quali non ho intenzione di inoltrarmi.

Però ho ancora un altro dubbio. Interpretare la trasformata di Fourier come "caso particolare" della trasformata di Laplace (se così si può dire), potrebbe in qualche modo semplificare la questione? In questo caso, la condizione necessaria all'esistenza è più chiara?

[dimaios]

Però ho ancora un altro dubbio. Interpretare la trasformata di Fourier come "caso particolare" della trasformata di Laplace (se così si può dire), potrebbe in qualche modo semplificare la questione? In questo caso, la condizione necessaria all'esistenza è più chiara?

Invece la cosa si complica ulteriormente.
perché tu possa porre nella trasformata di Laplace ed ottenere quella di Fourier devi stare attento a dove sono i poli, in particolare bisogna analizzare la ROC.
Non puoi associare le condizioni necessarie e sufficienti di esistenza delle due trasformate ma puoi solo ricavarne una equivalenza sotto certe condizioni.

Per capire meglio guarda per esempio questa discussione dove si vede bene di cosa stiamo parlando.
L'esempio sembra banale ma porta a delle considerazioni fini sulle corrispondenze tra le trasformate .... non sono automatiche ma valgono solo sotto certe ipotesi.

http://electronics.stackexchange.com/questions/105542/fourier-vs-laplace

Quindi neanche la sostituzione può essere fatta con leggerezza .... figurati la deduzione delle condizioni di esistenza.

Fondamentalmente questo argomento richiede necessariamente uno studio approfondito e l'utilizzo di strumenti evoluti dell' analisi matematica.

[Flamber]

Grazie !!!

La serie di Fourier è una somma di un numero infinito (ma numerabile) di sinusoidi. Passando alla trasformata di Fourier, compiamo un "salto" nel continuo, e il numero infinito di sinusoidi, diventa non numerabile.

è corretto dire che passando dalla trasformata di Fourier a quella di Laplace si compie un ulteriore "salto", passando ad un infinito con cardinalità ancora maggiore, dato che la funzione che otteniamo è definita su un supporto assimilabile ad un piano?

[6367]

Di "trasformate di Fourier" ne esistono diverse (diverse teorie).

La più "classica" è quella in L2 (funzioni a quadrato sommabile) ma ne esistono altre.
Per esempio nello spazio delle distribuzioni temperate S', ma non sarà il caso più generale.

Quindi della trasformata di Fourier, si usa quanto basta in quel contesto senza andare troppo oltre il necessario per non complicare la teoria.

[Flamber]

Quindi della trasformata di Fourier, si usa quanto basta in quel contesto senza andare troppo oltre il necessario per non complicare la teoria.

Sono abbastanza sicuro che qualsiasi segnale mi capiterà di misurare nella vita, sarà ad energia finita (se così non fosse mi aspetto almeno il Nobel ), e quindi trasformabile. Era più che altro curiosità, dato che tutti i libri che ho consultato, anche i più rigorosi dal punto di vista matematico, davano una condizione di esistenza sufficiente ma non necessaria, e mi è venuto naturale chiedermi il perché.

[dimaios]

......è corretto dire che passando dalla trasformata di Fourier a quella di Laplace si compie un ulteriore "salto", passando ad un infinito con cardinalità ancora maggiore, dato che la funzione che otteniamo è definita su un supporto assimilabile ad un piano?

E' un linguaggio matematico improprio e scorretto. Già il termine cardinalità utilizzato in quel modo è molto discutibile.

La trasformata di Laplace ha un significato fisico diverso da quella di Fourier.
Invece di considerarle l'una come l'estensione dell'altra è opportuno vederle come teorie separate che hanno un punto di incontro molto utile anzi fondamentale per la teoria dei segnali.

....era più che altro curiosità, dato che tutti i libri che ho consultato, anche i più rigorosi dal punto di vista matematico, davano una condizione di esistenza sufficiente ma non necessaria, e mi è venuto naturale chiedermi il perché.

perché da un punto di vista ingegneristico la condizione sufficiente ti permette di operare con quello strumento direttamente mentre quella necessaria implica altri passaggi per consentirne l'utilizzo.
Da un punto di vista matematico invece devi studiare tutte le condizioni che rendono uno strumento utilizzabile ( requisito minimo ).

A volte la condizione sufficiente è più semplice da valutare rispetto a tutte quelle necessarie ( e minime ) per impiegare uno strumento. L'ingegnere deve avere strumenti utilizzabili con certezza e semplicità.