Ma voi ci pensate che...

[IlGuru]

Per calcolare la distanza fra due punti di una superficie curva immersa nello spazio, basta conoscere in ciascun punto della superficie lo jacobiano della trasformazione bidimensionale fra le coordinate cartesiane locali e le coordinate generiche sulla superficie cioè le 2x2 componenti del campo di un tensore doppio sulla superficie.

Lo Jacobiano è l'isomorfismo tra lo spazio piatto che usiamo per fare i calcoli e la superficie curva che descriviamo attraverso la parametrizzazione.
Distanza è un concetto primitivo che esiste nello spazio piatto di partenza quando sulla struttura algebrica di spazio affine si introduce il concetto di prodotto scalare ed otteniamo uno spazio metrico.
L'isomorfismo di fatto copia la stessa struttura algebrica dallo spazio di partenza allo spazio di destinazione, quello curvo, quindi la metrica è la stessa.
Se lo spazio di partenza era dotato di metrica euclidea e sommavi i quadrati dei cateti per trovare il quadrato dell' ipotenusa, per intenderci, farai così anche nello spazio curvo. Poi ovviamente quei cateti nello spazio curvo saranno riscaldati dallo Jacobiano e saranno tutti infinitesimi che andranno integrati per misurare la lunghezza della curva.

Anche nello spaziotempo a 4 dimensioni, la distanza rappresenta un invariante. Ci ho preso?

Se ho capito la domanda direi di sì, solo che la metrica è diversa da quella degli spazi euclidea, perché se consideri positivi i quadrati delle distanze di tipo tempi, dovrai considerare negativi i quadrati delle distanze di tipo spazio, e viceversa.

Scusa ma ho scritto dal telefono e mi sarò sicuramente espresso male.

[EcoTan]

Infatti i cateti riscaldati..
Grazie

[EcoTan]

presa una matrice qualsiasi si possono ricavare gli autovalori e gli autovettori della matrice e verificare se è diagonalizzabile.

Se tu volessi dire di più su questa verifica ti sarei ancora grato. Trovo in giro delle trattazioni ma troppo generali per il mio tipo di curiosità.

P.S. Adesso (10 dicembre 2025) ho letto buona parte di Algebra Lineare di Martelli Geo (che ho scaricato gratis).

[EcoTan]

isomorfismo tra lo spazio piatto che usiamo per fare i calcoli e la superficie curva che descriviamo attraverso la parametrizzazione

Considerando che nella più semplice superficie curva, la sfera, possiamo usare un riferimento polare, mi viene una domanda stupidotta:
lasciamo stare gli spazi curvi e pensiamo semplicemente a un piano con un riferimento cartesiano (x,y) e un riferimento polare (r,fi) sulla stessa origine e stesso asse orizzontale. Nei termini dell'algebra lineare, il riferimento polare può avere una base?

[Ianero]

...il riferimento polare può avere una base?

La risposta è sì, a patto di intenderci bene sui concetti.
Le coordinate, cartesiane o polari che siano, per descrivere la regione di spazio (in generale, la varietà) su cui stai concentrando l'attenzione, sono solo coordinate: fin qui non c'è alcuno spazio vettoriale né dunque alcuna base.
Gli spazi vettoriali in questione entrano in scena quando introduci il concetto di vettore tangente. In particolare, agganciato ad ogni punto del dominio delle coordinate, puoi definire uno spazio vettoriale: l'insieme dei vettori tangenti alla varietà in quel punto. Questo spazio vettoriale avrà una base: i vettori di base di tale spazio, eventualmente normalizzati, sono quelli di cui stai parlando.

[EcoTan]

Va bene, mi sembra comunque una base presa in prestito. Che senso avrebbe raddoppiare un vettore raddoppiandone modulo e fase.

[Ianero]

Non ti ho capito.
Scalare un vettore di un fattore due ha sempre lo stesso effetto, indipendentemente da quale base usi per sviluppare quel vettore.