ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **denisrn** » 24 dic 2009, 12:20

Salve a tutti,
in questi giorni mi sono trovato alle prese con la realizzazione di un filtro a Pi greco, ma sto avendo dei problemi.
Innanzi tutto allego qui di seguito il circuito:

Immagine

Di seguito riporto anche le equazioni ricavate dal circuito nel dominio $j\omega$ , in particolare il guadagno del filtro e la corrente erogata dalla sorgente (non avendole trovate in rete le ho ricavate, mi sembrano corrette ma non posso averne la certezza):

${I_{supp}(\omega , L_{1}, C_{1}, C_{2}, V_{i})=V_{i}(\frac{-j(\omega ^{3}L_{1}C_{1}C_{2}-\omega C_{1}-\omega C_{2})}{1-\omega ^{2}L_{1}C_{2}})$

$A(\omega , L_{1}, C_{2}) = \frac{V_{o}}{V_{i}} = \frac{-1}{\omega ^{2}L_{1}C_{2}-1}$

Ora, andando a sostituire i valori sopra riportati (componenti from the shelf), e lavorando con una frequenza di 50KHz, ottengo i seguenti valori:

$I_{supp}(2\Pi *50*10^{3} , 220*10^{-6}, 220*10^{-9}, 220*10^{-9}, V_{i})=+j0,0507*V_{i}$

$A(2\Pi *50*10^{3} , 220*10^{-6}, 220*10^{-9}) = -0,2648$

E qui mi viene un dubbio: la potenza attiva dissipata e' ovviamente 0 non essendoci idealmente resistori nel circuito, tuttavia la corrente che deve erogare il generatore e' ingente, per una Vi picco-picco di 20 volt si ottiene infatti una corrente picco-picco di magnitudo:

$|I_{supp}(2\Pi *50*10^{3} , 220*10^{-6}, 220*10^{-9}, 220*10^{-9}, 20)|=0,0507*20=1,014\left [ A \right ]$

Che mi sembra un numero davvero enorme!
Ho provato a montare il circuito, il segnale sinusoidale da ~50KHz lo prelevo da uno stadio finale composto da un buffer ad OP-AMP, che puo' al massimo fornirmi una corrente di 5mA, ed i componenti passivi hanno valore nominale di quelli sopra riportati.
Tuttavia all' uscita del filtro non trovo nulla, e anzi quando collego il filtro all' uscita dell' OP-AMP l' onda sinusoidale (all' uscita dell' OP-AMP) viene letteralmente distrutta, calando di ampiezza di un buon 200% o piu' e subendo una devastante distorsione armonica, tutto questo penso sia dovuto alla grande quantita' di corrente che viene richiesta dal filtro (a quest' ultimo non ho collegato nessun carico) e il conseguente calo di guadagno del buffer.
Ho sbagliato qualcosa nel mio ragionamento? La corrente richiesta all' operazionale e' davvero cosi' ingente da non poter costruire una realizzazione pratica? Come potrei risolvere?

Grazie in anticipo delle eventuali risposte, e buone feste!

da **RenzoDF** » 24 dic 2009, 13:07

I calcoli per le funz. di trasferimento sono corretti

e anche la corrente è corretta

a 50kHz la capacità di 220n presenta una reattanza di 14 ohm e l'induttanza 69 ohm ...
il parallelo siamo intorno ai 19.7 ohm

e quindi con 20 Vpp avremo circa 1 App ... non ci sono santi che tengano :mrgreen:

se alimenti con un AO che potrà avere 100 ohm di impedenza interna .... in pratica C1 da solo già cortocircuita il segnale a massa..... il filtro non fa altro che il suo lavoro ... filtra ... e i 50kHz ... non gli stanno simpatici :mrgreen:

BTW da dove ricavi che l'AO può fornire solo 5mA ?

Hai provato a simulare ?
direi Sapwin ma anche LTspice o Pspice ... o Tina

da **RenzoDF** » 24 dic 2009, 13:30

Si sta un attimo

: sap.png (31.88 KiB) Osservato 24066 volte

ma ti da anche la FT simbolica e numerica e molto altro :!:

: ft.png (9.4 KiB) Osservato 24051 volte

per la corrente modificando la scelta del segnale d'uscita

: sap2.png (15.04 KiB) Osservato 24047 volte

Ma anche con LTspice

: LTspice1.png (23.21 KiB) Osservato 24041 volte

da **denisrn** » 24 dic 2009, 13:49

Ciao, intanto grazie delle risposte!

I 5mA li avevo letti sul datasheet del TL082 ma sono effettivamente errati, andando di fretta ho letto sul campo sbagliato, questa era la corrente di supply :oops:

, la corrente massima erogabile viene riportata graficamente in funzione della temperatura e della tensione di supply, se non erro qui ci aggiriamo sui 20mA.
Volevo provare il filtro nell' area successiva alla frequenza risonanza perche' cosi' facendo ottengo uno sfasamento di 180 gradi, condizione in cui lavora il filtro nel caso venga utilizzato in un oscillatore di pierce, che sto cercando di approfondire; ovviamente in quel caso i parametri sono totalmente diversi e le C ammontano a qualche pF; non ho ancora fatto i calcoli ma non penso proprio che in quel caso le correnti siano cosi' ingenti!
Volevo intanto costruirmi un piccolo oscillatore sinusoidale ad OP-AMP per basse frequenze utilizzando uno dei suddetti filtri come anello di retroazione che fornisse i 180 gradi di sfasamento necessari, ma a quanto pare e' un idea che devo scartare :roll:

Si, dopo qualche inghippo sono riuscito a simulare il circuito, ma sinceramente non mi trovo molto con i risultati:

Immagine

Essendo tutti componenti L e C la V di uscita mi risulta che dovrebbe per lo meno essere sinusoidale, come riportato dall' equazione scritta sopra (o sbaglio?), SPICE mi riporta invece un onda di uscita (in blu) che sembra una sinusoide passata sotto un treno :shock:

da **IsidoroKZ** » 24 dic 2009, 14:39

Solo una osservazione sul circuito iniziale.
Il filtro a pi greco ha tre elementi reattivi indipendenti, ma la funzione di trasferimento che ottieni ha solo due poli. La ragione e` che c'e` un generatore di tensione in parallelo a una capacita`. Si forma una maglia degenere e il condensatore e` come se non ci fosse, per quanto riguarda la funzione di trasferimento.

In quello specifico circuito C1 potrebbe servire ad alzare l'impedenza di ingresso della rete, ma solo sopra la frequenza di risonanza di L e C2. Se usi $C_1=\frac{C_2}{L\,C_2\,\omega^2-1}$ , a frequenze maggiori di quella di risonanza di L C2, cosi` che il denominatore sia positivo, si ottiene una impedenza di ingresso elevata.

In realta` poi parli di colpitts, e negli oscillatori ci deve essere una resistenza di sorgente, altrimenti non si ha lo sfasamento voluto. Nel colpitts, alla frequenza di oscillazione, si ha proprio che la relazione che ho scritto prima e` verificata, per cui la sorgente non e` molto caricata.

Per quella rete, se non ho sbagliato i conti, la frequenza di oscillazione in un colpitts dovrebbe essere dalle parti di 32.4 kHz. Se provi a quella frequenza, l'impedenza di ingresso della rete e` molto elevata.

Dimenticavo: le unita` di misura non fra parentesi quadre!

da **RenzoDF** » 25 dic 2009, 1:36

denisrn ha scritto: Si, dopo qualche inghippo sono riuscito a simulare il circuito, ma sinceramente non mi trovo molto con i risultati:
Essendo tutti componenti L e C la V di uscita mi risulta che dovrebbe per lo meno essere sinusoidale, come riportato dall' equazione scritta sopra (o sbaglio?), SPICE mi riporta invece un onda di uscita (in blu) che sembra una sinusoide passata sotto un treno

Più che corretto se supponiamo il generatore di tensione ideale, per quanto riguarda la tensione d'uscita possiamo non considerare la capacità C1 e risolvere l'equazione differenziale relativa al seguente circuito

: xx1.png (4.37 KiB) Osservato 23969 volte

che porta all'equazione
$v_{C}+LC\frac{\text{d}^{2}v_{C}}{\text{d}t^{2}}=V_{M}\sin (\omega t)$
che definita

$\omega _{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$
porta alla sequente funzione per la tensione d'uscita (se vuoi i passaggi dimmelo)
$v_{C}(t)=\frac{V_{M}}{1-\left( \frac{\omega }{\omega _{0}} \right)^{2}}\left( \sin (\omega t)-\frac{\omega }{\omega _{0}}\sin (\omega _{0}t) \right)$

controllando con SpeQ

: xx2.png (18.07 KiB) Osservato 23956 volte

otteniamo

: xx3.png (16.03 KiB) Osservato 23945 volte

che conferma la simulazione di LTspice

: xx4.gif (14.82 KiB) Osservato 23946 volte

in pratica alla pulsazione imposta dal generatore viene a sovrapporsi la pulsazione naturale del circuito LC che si chiude attraverso il generatore ideale.
E ovvio che se non è presente una R serie l'oscillazione non avrà nessun fattore di smorzamento e continuerà ad essere presente sulla vout.
=====================================================================================
Se invece supponiamo una R serie pari a 5 ohm l'andamento converge come atteso sui 50kHz

: xx5.gif (13.39 KiB) Osservato 23932 volte

BTW ... posso chiederti cosa e dove studi ? -> Grazie :!:

da **IsidoroKZ** » 25 dic 2009, 10:58

denisrn ha scritto:Essendo tutti componenti L e C la V di uscita mi risulta che dovrebbe per lo meno essere sinusoidale, come riportato dall' equazione scritta sopra (o sbaglio?), SPICE mi riporta invece un onda di uscita (in blu) che sembra una sinusoide passata sotto un treno

Posso citarti di un aforisma confuciano: 要想更好地适用SPICE，需要充分了解它背后的电路理论

da **denisrn** » 25 dic 2009, 11:50

Grazie RendoDF, sei stato molto chiaro! L' equazione differenziale voglio provare a risolvermela io, anche se essendo di secondo ordine non ne sono attualmente capace (ora mi attrezzo :mrgreen:

)

RenzoDF ha scritto:BTW ... posso chiederti cosa e dove studi ? -> Grazie

Ultimo anno di un Istituto tecnico industriale, purtroppo :roll:

PS: Elettronica ovviamente

Grazie IsidoroKZ per le risposte.
Per il fatto della maglia degenere ho capito il ragionamento, data l' idealita' del generatore. Non ho pero' capito il discorso dell' innalzamento dell' impedenza di ingresso. Risolvendo il circuito ho trovato che al generatore mostra la seguente impedenza:

$Z_{eq} = \frac{+j(1-\omega ^{2}L_{1}C_{2})}{\omega^{3}L_{1}C_{1}C_{2}-\omega C_{1}-\omega C_{2}}$

Ok, il mio ragionamento (che e' quindi forse errato) e' stato il seguente: $C_{1}$ figura solamente al denominatore, nello specifico in 2 termini dove e' presente anche $\omega$ . Se stiamo lavorando ad una frequenza superiore a quella di risonanza, allora deve essere $\omega > \frac{1}{\sqrt{L_{1}C_{2}}}$ , allora $\omega ^{2}L_{1}C_{2} > 1$ . Il denominatore della $Z_{eq}$ puo' essere riscritto come $\omega C_{1}(\omega ^{2}L_{1}C_{2}-1)-\omega C_{2}$ . Il termine tra parentesi, supposto che stiamo lavorando con pulsazione $\omega >> \omega_{0}$ , sara' molto maggiore di 1, e avra' peso maggiore rispetto al secondo termine sottrattivo. Ora, se noi facciamo aumentare il valore di $C_{1}$ , il denominatore si alza di conseguenza e la $Z_{eq}$ si abbassera', avendo proporzionalita' inversa rispetto a quest' ultimo. Mi sta sfuggendo qualcosa? Poi sono ancora riuscito a capire da dove hai ricavato la formula che hai riportato sopra.

da **RenzoDF** » 25 dic 2009, 12:48

Penso Isidoro intendesse dire che se C1 è inferiore a C2, a frequenze superiori a quella di risonanza L1-C2, il ramo di destra sarebbe di tipo induttivo e C1 potrebbe aumentare la Z avvicinandosi alla risonanza parallelo C1 L1

aggiungendo un paio di passaggi alla tua relazione nelle condizioni specificate

$\frac{\omega ^{2}L_{1}C_{2}}{\omega C_{1}(\omega ^{2}L_{1}C_{2}-1)-\omega C_{2}}\cong \frac{\omega ^{2}L_{1}C_{2}}{\omega ^{3}C_{1}L_{1}C_{2}-\omega C_{2}}=\frac{\omega L_{1}}{\omega ^{2}C_{1}L_{1}-1}$

da **IsidoroKZ** » 25 dic 2009, 12:49

denisrn ha scritto: Se stiamo lavorando ad una frequenza superiore a quella di risonanza, allora deve essere $\omega > \frac{1}{\sqrt{L_{1}C_{2}}}$ , allora $\omega ^{2}L_{1}C_{2} > 1$ . Il denominatore della $Z_{eq}$ puo' essere riscritto come $\omega C_{1}(\omega ^{2}L_{1}C_{2}-1)-\omega C_{2}$ . Il termine tra parentesi, supposto che stiamo lavorando con pulsazione $\omega >> \omega_{0}$ , sara' molto maggiore di 1, e avra' peso maggiore rispetto al secondo termine sottrattivo. Ora, se noi facciamo aumentare il valore di $C_{1}$ , il denominatore si alza di conseguenza e la $Z_{eq}$ si abbassera', avendo proporzionalita' inversa rispetto a quest' ultimo. Mi sta sfuggendo qualcosa? Poi sono ancora riuscito a capire da dove hai ricavato la formula che hai riportato sopra.

Non devi far salire indefinitamente C1. Il denominatore, come dicevi, e` $\omega C_{1}(\omega ^{2}L_{1}C_{2}-1)-\omega C_{2}$
Il termine fra parentesi e` positivo, non e` importante che sia >>1, basta che sia positivo. Chiamiamo $\alpha$ il valore della parentesi (valore costante se non cambi frequenza e componenti). Allora il denominatore viene $\omega C_{1}\alpha-\omega C_{2}$ . A questo punto e` facile vedere che se scegli $C_1=\frac{\omega C_2}{\alpha\,\omega}=\frac{C_2}{\alpha}$ (che poi e` la formula che avevo ricavato prima), ottieni che il denominatore va a zero, e quindi l'impedenza va ad infinito e non carica piu` la sorgente.

E medita bene sugli aforismi di Confucio, sono importanti

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Chiarimenti su Filtro Pi greco

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