Problema trasformata di Laplace

[fesem]

Ciao a tutti. Ho un problema che spero possiate aiutarmi a risolvere. Si tratta di un esercizio di automatica, e premetto che le mie conoscenze in questo ambito sono scarse, dunque siate clementi
C'è un sistema descritto dalle seguenti equazioni

k1*y' = m-h1*(y-z)
k2*z' = h1*(y-z) + h2*(d-z)

con k1,k2,h1,h2 note (m rappresenta una variabile di controllo, d un disturbo, z e y le uscite)
L'esercizio mi richiede di calcolare le trasformate di Laplace per il sistema, riportando come soluzione la seguente

Y = F1*M + F2*Z
Z = F3*Y + F4*D

con
F1 = 1 / (h1 + k1*s) F2 = h1 / (h1 + k1*s)
F3 = h1 / (h1 + h2 + k2*s) F4 = h2 / (h1 + h2 + k2*s)

Ora, gli esercizi con trasformate di Laplace che ho visto finora avevano come oggetto della trasformazione delle funzioni, solitamente polinomiali, nella variabile complessa s, e su tale polinomio si doveva operare la trasformazione. Qualcuno riesce a spiegarmi la procedura da adottare in casi come questi?

[IsidoroKZ]

Fammi solo capire la notazione: cosa indichi con y' e z'?

Per quanto riguarda invece le scarse conoscenze, in generale basta studiare . Come mai ti danno degli esercizi in un campo in cui non hai buone conoscenze?

Che cosa studi e dove? Cosi` vedo come graduare la risposta.

[fesem]

y' e z' rappresentano le derivate di y e z (y-punto e z-punto in sostanza); studio Ingegneria a Milano (politecnico) ma si tratta del primo corso (a scelta tra l'altro) che richieda di progettare dei sistemi di controllo automatici. Quello proposto è il testo di un esercizio guidato che dovrebbe esemplificare il procedimento generale; purtroppo i commenti sono assenti e non mi è facile capire solo guardando le formule

Non so se possa servire, ma questi sono i dati del problema relativi all'equilibrio

deq = 283 [K]; yeq = 323 [K];
meq = (h1*h2*( yeq – deq )) / ( h1 + h2 ) = 33333 [w]; zeq = meq / h2 + deq

[K] rappresenta i Kelvin, e [w] dovrebbe rappresentare i watt, dico dovrebbe perché anche nel testo è scritto in minuscolo

[IsidoroKZ]

Allora la cosa e` facile

Hai una equazione scritta in questo modo (x, y, z sono funzioni del tempo, X Y Z le stesse funzioni nel dominio di Laplace, a, b, c delle costanti...)

Prendi ad esempio un sistema di equazioni differenziali di questo tipo

a x' = bx + cy+ dz (z ad esempio e` l'ingresso, x e y le variabili di stato del sistema)
e y' = fx + gy + Hz

Questo e` un generico sistema di equazioni diffferenziali lineari e tempo invarianti (se non fossero lineari e tempoinvarianti, niente Laplace!)

La "ricetta" per farne la trasformata di Laplace e` semplice: trasforma tutte le variabili e tutti gli operatori, non toccare le costanti moltiplicative.

La trasformata di x(t), y(t), z(t), come detto prima sara ` X(s) Y(s) e Z(s).

Resta da trasformare l'operatore di derivata. Se cerchi sui tuoi libri di trasformate, trovi che L(x'(t))=s*L(x(t))=s*X(s).

Allora il sistema di eq. diff. diventa

a*s*X(s)=bX(s)+cY(s)+dZ(s)

e analogamente per la seconda equazione. A questo punto hai due equazioni algebriche e puoi trovare quanto vale X e Y.

ACHTUNG! quanto ti ho detto serve per trovare le funzioni di trasferimento fra X e Y e gli ingressi. Nelle funzioni di trasferimento non ci sono le condizioni iniziali sulle variabili di stato.

Se invece vuoi calcolare cosa capita con un ben preciso ingresso, le cose si complicano un pochino. Ad esempio se la funzione z(t) e` un gradino di ampiezza k, z(t)=k*u(t), trasformando hai Z(s)=k/s perche' la trasformata del gradino... lo sanno tutti. A questo punto al posto di Z(s) puoi scrivere k/s ma non basta.

Stai risolvendo un sistema di eq diff del primo ordine, e devi specificare anche le condizioni iniziali su x e y, quindi devi sapere x(0) e y(0).

Le condizioni iniziali entrano nella trasformazione dell'eq diff quando c'e` l'operatore derivata.
x', quando ci sone le condizioni iniziali perche' vuoi risolvere il problema per uno specifico ingresso diventa nel dominio di Laplace L(x'(t))=s*X(s)-x(0) ecc. ecc. La trasformata delle derivate valla a vedere sul libro.

PS: so benissimo cosa vuol dire x', e` che dal tono della domanda non capivo a che livello fossi e ho provato a sondare

[fesem]

Grazie per la risposta ,sei stato veramente d'aiuto....penso proprio che la giornata di domani sarà dedicata al ripasso delle trasformate di Laplace