ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **denisrn** » 25 apr 2010, 10:35

Ciao a tutti,
studiando elettronica sul mio libro di testo, ogni tanto mi capita di imbattermi in qualche "miracolo", vi presento quello odierno che mi sta turbando non poco.

L' argomento trattato sono gli amplificatori di potenza in classe A, in particolare con carico accoppiato a trasformatore, lo schema di principio che presenta il libro e' il seguente:

: lolcircuit.PNG (5.08 KiB) Osservato 4840 volte

Subito dopo presenta la seguente retta di carico dinamica:

: lolload.PNG (2.75 KiB) Osservato 4841 volte

Ok, come fa la retta di carico ad arrivare a $2V_{cc}$ ? Il libro non spiega nulla al riguardo, dice solo che e' cosi'. Io ho provato a darmi la seguante spiegazione:

Nell' avvolgimento primario del trasformatore scorre una corrente $i_{c}(t)$ con due componenti, una parte di continua relativa alla polarizzazione e una parte alternata relativa al segnale:
$i_{c}(t) = I_{cM}+I_{cM}sin(\omega t)$

A questa corrente corrispondera' un flusso magnetico che scorre nel trasformatore:
$B(t)=\frac{\mu N i(t)}{l}$

$\phi (t) = \int_A B\mathrm{d}A \approx BA = \frac{A \mu N i(t)}{l}$

$\phi (t) \approx \frac{ I_{cM}A \mu N i(t)}{l}+\frac{ I_{cM}A \mu N i(t)}{l}sin(\omega t)$

E alla variazione di questo flusso, per la legge di Faraday, corrispondera' una f.e.m

autoindotta al primario:
$f.e.m. = -\frac{\mathrm{d} \phi(t)}{\mathrm{d} t} \approx - \frac{ I_{cM}A \mu N i(t) \omega }{l}cos(\omega t)$

Ok, questo in effetti spiegherebbe perche' alla tendenza del transistor all' interdizione (diminuzione della corrente di collettore), la $V_{CE}$ oltrepassa la $V_{CC}$ .

Tuttavia devo avere sbagliato qualcosa nel ragionamento, perche' nella mia espressione della f.e.m.

figura un $\omega$ , ovvero la tensione che si autoinduce al primario dipende dalla frequenza del segnale sinusoidale in ingresso. Varrebbe a dire che il punto della retta di carico in cui la corrente di collettore e' nulla si sposterebbe con la variazione della frequenza del segnale in ingresso :!:

Qualcuno riesce ad indicarmi dove sto sbagliando o al limite spiegare il fenomeno in un altro modo :?:

Thanks.

da **IsidoroKZ** » 25 apr 2010, 11:23

Innanzi tutto complimenti per la scrittura, sei uno dei pochissimi che scrive la d del differenziale in tondo e non in corsivo :)
E anche per l'analisi del fenomeno, spiegata bene e che mostra che vuoi capire. Che cosa stai studiando?

La ragione per la quale ti viene quel risultato strano e` che hai considerato il trasformatore come un semplice induttore, mentre bisogna anche considerare la corrente nel secondario per trovare il flusso.

L'analisi piu` semplice del fenomeno direi sia quella di considerare un trasformatore ideale mettendo in evidenza l'induttanza di magnetizzazione, come nello schema a sinistra.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

La corrente di polarizzazione IcM passa nella induttanza di magnetizzazione Lm, che essendo sufficientemente grande, ma non troppo, si comporta come un generatore di corrente, come mostrato nella parte destra.

La tensione massima a cui arriva il collettore del transistore, quando si interdice, e` dato da $V_\text{c}=V_\text{al}+I_{\text{cM}}\cdot R_\text{L}\left ( \frac{N_\text{p}}{N_\text{s}}\right )^2$
Questa espressione semplicemente dice che quando il transistore si interdice la corrente di magnetizzazione passa attraverso il "trasformatore ideale" e va nel carico.

Si fa in modo che la corrente di magnetizzazione, quindi la corrente di bias, moltiplicata per la resistenza di carico riportata al primario dia una tensione pari a quella di alimentazione, in modo che il carico possa vedere una tensione simmetrica, dato che e` in classe A.

In questa configurazione il rendimento ideale del classe A sale al 50%

Una analisi piu` dettagliata deve abbandonare l'ipotesi che la corrente nell'induttanza sia costante, e calcolarla come integrale della tensione ai capi di Lm, in pratica: $I_\text{m}(t)=\frac{1}{L_\text{m}}\int_0^t(V_\text{al}-V_\text{c}(t))\text{d}\tau+I_\text{cM}$ , ma se l'induttanza di magnetizzazione e` abbastanza grande, la corrente e` praticamente costante. Comincia a non essere piu` costante, cioe` l'integrale a essere significativo rispetto al bias, quando la frequenza scende: come tutti i trasformatori in continua perde colpi :)

Se vuoi studiare il fenomeno con la corrente e il flusso, semplificandoti la vita, riporta il carico sul primario e butta via il trasformatore, tenendo solo la sua induttanza di magnetizzazione, come in questo schema:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Ultima nota: i trasformatori di uscita per il classe A devono avere una induttanza Lm elevata, ma non troppo, in modo da non saturare, devono poter immagazzinare energia e per questa ragione sono costruiti con un traferro. Il valore di Lm lo si puo` calcolare con le equazioni di prima, oppure anche con considerazioni energetiche.

da **denisrn** » 25 apr 2010, 14:27

Grazie della risposta, mi hai chiarito non poco le idee :!:

IsidoroKZ ha scritto:la d del differenziale in tondo e non in corsivo

Se ben ricordo la cosa risale a qualche mese fa, quando RenzoDF mi disse qualcosa come "cambia quelle

prima che passi IsidoroKZ !" :mrgreen:

Che cosa stai studiando?

Uhm Istituto ( $\sim$ Tecnico) Industriale

Quindi, riguardo a questo caso, per semplificare lo studio posso considerare il transistor come una sorgente di corrente di collettore $i(t)=I_{CQ}+I_{CQ}sin(\omega t)$ :?:

Se fosse possibile potrei trascrivere un po' di cose che al momento ho su carta per trovare l' espressione analittica di $v_{L}(t)$ , da cui cercare di fare qualche considerazione... in particolare sulla grandezza della $L_{m}$ :!:

da **denisrn** » 25 apr 2010, 20:26

Intanto comincio a mettere giu' qualcosa!

Ammesso che la corrente di collettore abbia la forma $i(t)=I_{CQ}+I_{CQ}sin(\omega t)$ (il che mi sembra abbia senso), si potrebbe studiare direttamente questo circuito:

: evenloller.PNG (3.42 KiB) Osservato 4623 volte

Per iniziare lo studio partirei scrivendo le relazioni basilari relative al circuito:
$i(t)=I_{CQ}+I_{CQ}sin(\omega t)$

$v_{L}(t)=L\frac{\mathrm{d} i_{L}(t)}{\mathrm{d} t}$

$i_{R}=\frac{v_{L}(t)}{n^{2}R_{L}}$

$i(t)=i_{L}(t)+i_{R}(t)$

Risolvendo il sistema composto dalle tre equazioni precendenti con $v_{L}(t)$ come incognita si risale alla seguente equazione differenziale:
$\frac{\mathrm{d}v_{L}(t)}{\mathrm{d}t} + \frac{n^{2}R_{L}}{L}v_{L}(t) = n^{2}R_{L}\frac{\mathrm{d}i(t)}{\mathrm{d}t}$

Qui ho tentato di risolvere l' equazione (ah, per errore ho fissato $I_{CQ}=1$ ) ma sono venuti fuori moo $\sum_{i=0}^{\infty}(O_{i})$ ooolti calcoli... se qualcuno con software apposito o con voglia ed esperienza di calcolo potesse confermare o smentire glie ne sarei molto grato :!:

$v_{L}(t)=n^{2}R_{L}\omega e^{-\frac{n^{2}R_{L}}{L}t}\left [ \frac{\frac{n^{2}R_{L}}{L}}{\omega ^{2}+\frac{n^{4}R_{L}^{4}}{L^{2}}}e^{\frac{n^{2}R_{L}}{L}t} \left ( cos(\omega t) + \frac{L\omega}{n^{2}R_{L}}sin(\omega t) \right ) + C_{1} \right ]$

Per ora mi fermo qua, onde evitare di costruire una casa senza fondamenta.

PS: Comunque sia, imho, il fenomeno per cui ho aperto il post si comprende gia' egregiamente attraverso la spiegazione di IsidoroKZ, qui volere ricavare l' espressione della $v_{L}(t)$ e' piu' testardaggine che altro, pero' sarei curioso di vedere se da quest' ultima si riesciusse a capire il "ma non troppo" di IsidoroKZ :!:

da **IsidoroKZ** » 26 apr 2010, 1:11

Il ma non troppo non lo si capisce solo con l'eq diff, ci sono anche considerazioni costruttive. Comunque io scriverei l'eq diff in termini di corrente, partendo da
$=i_{L}(t)+i_{R}(t)=i(t)=I_{CQ}+I_{CQ}\sin(\omega t)$ da cui sostituendo si ha
$i_{L}(t)+\frac{v_{L}(t)}{n^{2}R_{L}}=i_{L}(t)+\frac{L}{n^2R_L}\frac{\text{d} i_{L}(t)}{\mathrm{d} t}=I_{CQ}+I_{CQ}\sin(\omega t)$

Adesso hai una eq diff in iL che ha un termine forzante dato dalla somma di due addendi (costante e seno. A proposito, scrivi \sin che viene meglio). Inoltre hai pure una condizione iniziale $i_L(0)=I_{CQ}$ . Dato che l'eq diff e` lineare, puoi separare il termine forzante e la condizione iniziale in due equazioni, e poi sommare i risultati, ad esempio cosi`:

$i_{L}(t)+\frac{L}{n^2R_L}\frac{\text{d} i_{L}(t)}{\mathrm{d} t}=I_{CQ}\qquad \qquad i_L(0)=I_{CQ}$ e
$i_{L}(t)+\frac{L}{n^2R_L}\frac{\text{d} i_{L}(t)}{\mathrm{d} t}=I_{CQ}\sin(\omega t)\qquad i_L(0)=0$

La prima equazione da` come risultato $i_L(t)=I_{CQ}$ una costante. La seconda la risolvi tu

Sommi i due risultati e ottieni i_L(t)=...

a questo punto derivi il risultato, lo moltiplichi per L e hai la tensione sulla resistenza.

Prova a fare questi conti, poi ci torniamo su, adesso meglio che dorma

da **denisrn** » 26 apr 2010, 12:01

Allora... partendo dall' equazione:
$i_{L}(t)+\frac{L}{n^2R_L}\frac{\text{d} i_{L}(t)}{\mathrm{d} t}=I_{CQ}\sin(\omega t)$

La soluzione dovrebbe essere:
$i_{L}(t)=I_{CQ}e^{- \frac{L}{n^{2}R_{L}}t} \int e^{ \frac{L}{n^{2}R_{L}}t} \sin(\omega t) \mathrm{d}t$

Per risolvere bisogna trovarsi la soluzione del seguente (sono 2 integrazioni per parti) :
$\int e^{ kt} \sin(\omega t) \mathrm{d}t = \left ( \frac{ke^{kt}}{\omega ^{2} + k^{2}} \right ) \left ( \sin(\omega t) - \frac{\omega}{k} \cos(\omega t) \right ) + C$

Poi lo si sostituisce nella seconda:
$i_{L}(t)= I_{CQ}e^{- \frac{L}{n^{2}R_{L}}t} \left [ \left ( \frac{\frac{L}{n^{2}R_{L}}e^{\frac{L}{n^{2}R_{L}}t}}{\omega ^{2} + \frac{L^{2}}{n^{4}R_{L}^{2}}} \right ) \left ( \sin(\omega t) - \frac{\omega}{\frac{L}{n^{2}R_{L}}} \cos(\omega t) \right ) + C \right ]$

$i_{L}(t)= I_{CQ}L\left ( \frac{n^{2}R_{L}}{\omega^{2}n^{4}R_{L}^{2}+L^{2}} \right ) \left ( \sin(\omega t) - \frac{n^{2}R_{L}\omega}{L} \cos(\omega t) \right ) + CI_{CQ}e^{-\frac{L}{n^2R_{L}}t}$

Per $\omega = 0$ la parentesi con i termini oscillanti si annulla, quindi dato che deve essere $i_{L}(0) = 0$ allora deve anche essere C = 0

:
$i_{L}(t)= I_{CQ}L\left ( \frac{n^{2}R_{L}}{\omega^{2}n^{4}R_{L}^{2}+L^{2}} \right ) \left ( \sin(\omega t) - \frac{n^{2}R_{L}\omega}{L} \cos(\omega t) \right )$

Ed infine si deriva il tutto per trovare la tensione...
$v_{L}(t) = L\frac{\mathrm{d} i_{L}(t)}{\mathrm{d} t} = I_{CQ}L^{2}\omega \left ( \frac{n^{2}R_{L}}{\omega^{2}n^{4}R_{L}^{2}+L^{2}} \right ) \left ( \cos(\omega t) + \frac{n^{2}R_{L}\omega}{L} \sin(\omega t) \right )$

Computando il risultato ottenuto e confrontandolo con spice mi da' proprio l' idea di avere sbagliato qualcosa :mrgreen:

... anche se rigurdando non riesco nemmeno a trovare l' errore :roll:

da **IsidoroKZ** » 26 apr 2010, 16:22

Bisogna dire che ti piacciono le eq. diff. e latex :)

denisrn ha scritto:La soluzione dovrebbe essere:
$i_{L}(t)=I_{CQ}e^{- \frac{L}{n^{2}R_{L}}t} \int e^{ \frac{L}{n^{2}R_{L}}t} \sin(\omega t) \mathrm{d}t$

Credo ti sia perso un fattore 1/k davanti al seno $i_{L}(t)=I_{CQ}e^{- \frac{L}{n^{2}R_{L}}t} \int e^{ \frac{L}{n^{2}R_{L}}t} \cdot \frac{n^2R_L}{L}\sin(\omega t) \mathrm{d}t$ Potevi vederlo dal fatto che le dimensioni non sono a posto: il risultato dell'integrale viene un tempo!

denisrn ha scritto: $i_{L}(t)= I_{CQ}L\left ( \frac{n^{2}R_{L}}{\omega^{2}n^{4}R_{L}^{2}+L^{2}} \right )$

Qui puoi accorgerti che c'e` qualcosa che non va perche' il denominatore non e` a posto dimensionalmente. Stai sommando una resistenza al quadrato divisa per un tempo al quadrato con una induttanza. Sarebbe invece dovuto essere qualcosa del tipo $\frac{n^{2}R_{L}}{n^{4}R_{L}^{2}+L^{2}\omega^{2}}$

denisrn ha scritto:Per $\omega = 0$ la parentesi con i termini oscillanti si annulla,

Devi porre t=0 non omega uguale a zero, e la parentesi con i seni e coseni non si annulla perche' hai un coseno di zero.

Se proprio vuoi risolvere l'eq diff, viene una cosa del genere: $i_L=C\,\text{e}^{-\frac{t}{k}}+I_{CQ}\left( \frac{\sin(\omega t)}{k^2\omega^2+1}-\frac{k\omega\cos(\omega t)}{k^2\omega^2+1}\right )$

A noi interessano solo le soluzioni a regime, e quindi il termine in esponenziale lo si butta via. k e` quello che avevi definito tu, la costante di tempo $k=\frac{L}{n^2R_L}$ .

La tensione ai capi dell'induttanza vale $v_L=L\frac{\text{d}i_L}{\text{d}t}=L\frac{\text{d}}{\text{d}t}I_{CQ}\left( \frac{\sin(\omega t)}{k^2\omega^2+1}-\frac{k\omega \cos(\omega t)}{k^2\omega^2+1}\right )=I_{CQ}L\left( \frac{\omega \cos(\omega t)}{k^2\omega^2+1}+\frac{k\omega^2\sin(\omega t)}{k^2\omega^2+1}\right )$

Adesso sostituisco il valore di k, raccolgo un po' di roba: $v_L=I_{CQ}\left ( \frac{L\,R_L^2n^4\omega\cos(\omega t)}{L^2\omega^2+R_L^2n^4}+\frac{L^2R_L n^2\omega^2\sin(\omega t)}{L^2\omega^2+R_L^2n^4}\right )$

E questa dovrebbe essere la tensione. Dimensionalmente sembra corretta, la parentesi e` la somma di due impedenze. Considerazioni: se si fa tendere L a infinito, si ottiene $\lim_{L\to\infty}I_{CQ}\left ( \frac{L\,R_L^2n^4\omega\cos(\omega t)}{L^2\omega^2+R_L^2n^4}+\frac{L^2R_L n^2\omega^2\sin(\omega t)}{L^2\omega^2+R_L^2n^4}\right )=I_{CQ}R_Ln^2\sin(\omega t)$ che e` appunto la condizione in cui la induttanza diventa un generatore ideale di corrente e tutta la corrente di segnale passa per la resistenza dando luogo a una caduta di tensione in fase con la corrente.

Cosa capita se L non e` infinita? La tensione massima che si sviluppa non e` piu` ICQ*n^2*RL, ma sara` minore. L'ampiezza della tensione la si puo` calcolare sommando in modo quadratico i due coefficienti di seno e coseno:

$|V_L|=I_{CQ}\sqrt{\left ( \frac{L\,R_L^2n^4\omega}{L^2\omega^2+R_L^2n^4}\right )^2+\left ( \frac{L^2\,R_L n^2\omega^2}{L^2\omega^2+R_L^2n^4}\right )^2}=I_{CQ}\frac{n^2 R_L\omega L}{\sqrt{L^2\omega^2+R_L^2n^4}}$

Se non si vuole perdere troppa dinamica bisogna fare in modo che questo termine possa arrivare fino a una frazione $\alpha$ della massima escursione di tensione possibile $V_L=I_{CQ}n^2 R_L$ , quindi si ha $I_{CQ}\frac{n^2 R_L\omega L}{\sqrt{L^2\omega^2+R_L^2n^4}}=\alpha I_{CQ}n^2R_L$ e ricavando L che e` l'incognita si ottiene $L=\frac{\alpha\, n^2 R_L}{\omega\sqrt{1-\alpha^2}}$ dal che si vede che se si vuole scendere di frequenza oppure aumentare la dinamica, l'induttanza di magnetizzazione deve aumentare.
Il "trasformatore" deve avere una induttanza di magnetizzazione controllata e in grado di non saturare, quindi con traferro.

E adesso la FREGATURA!. L'equazione che avevo indicato e che ho risolto qui, e` una lineare, senza condizioni iniziali, e in cui il termine di transistorio non interessa. Ed e` quindi risolvibile in 32 ms netti usando le trasformate di Laplace :) In pratica per avere una dinamica pari ad $\alpha$ volte quella massima, basta imporre che il modulo della resistenza e induttanza in parallelo sia pari ad $\alpha$ volte la resistenza, ottenendo lo stesso risultato.

da **denisrn** » 26 apr 2010, 18:34

IsidoroKZ ha scritto:Credo ti sia perso un fattore 1/k davanti al seno $i_{L}(t)=I_{CQ}e^{- \frac{L}{n^{2}R_{L}}t} \int e^{ \frac{L}{n^{2}R_{L}}t} \cdot \frac{n^2R_L}{L}\sin(\omega t) \mathrm{d}t$

Eh gia', sono partito dall' equazione differenziale senza riportarla nella forma canonica che solitamente uso per risolvere le eq. diff. di primo grado (coefficiente di $\frac{\mathrm{d}i_{L}(t)}{\mathrm{d}t}$ uguale ad

) e ho fatto i calcoli come un no-brainer. Shame on me!

IsidoroKZ ha scritto:Devi porre t=0 non omega uguale a zero

Che porcata allucinante :mrgreen:

Saranno i troppi diagrammi di Nyquist la ragione per cui vedo le $\omega$ come variabili dappertutto, oppure sono definitivamente rincitrullito

Grazie della dettagliata risposta, mi prendo un po' di tempo per rifare qualche calcolo e digerire meglio il tutto. Se mi venisse qualche dubbio poi vedo di romperti un po' :mrgreen:

da **IsidoroKZ** » 26 apr 2010, 18:37

Avevo dimenticato di linkare questa pagina e ovviamente vale la pena di fare un giro per tutto il sito

da **RenzoDF** » 26 apr 2010, 19:06

denisrn ha scritto:
Che cosa stai studiando?

Uhm Istituto ( $\sim$ Tecnico) Industriale :

... non ci credo proprio :!:

... più che non sia un ITI di Pisa :mrgreen:

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