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da **DrCox** » 4 set 2010, 19:06

Salve, ho un piccolo dubbio di analisi...

integrale del flusso F=(x²,y²,z²) sulla sfera di raggio r=2 e centro in C=(1,0,0)

Applicando il teorema della divergenza, ho:

∫(2x+2y+2z)dxdydz

per effettuare il calcolo conviene fare un cambio di variabile, passando alle coordinate sferiche.
Ma quali prendo?

x=r sinθ cosϕ
y=r sinθ sinϕ
z=r cosθ

oppure

x=1 + r sinθ cosϕ
y=r sinθ sinϕ
z=r cosθ

???

Inoltre, ho qualche problema nel determinare gli estremi degli intervalli di ciascuna delle nuove variabili...
ϕ e θ variano rispettivamente su [-π,π] e [0,π], no?
ed r invece? su [0, 1+sinθ cosϕ] ?

Infine, per semplificare il tutto, si sarebbe potuto traslare il campo F nel punto (1,0,0), ottenendo dunque F'=(x²+2x+1,y²,z²) avente divergenza 2x+2y+2z+2, ed usando dunque le coordinate sferiche proprio nell'origine? E' corretto traslare il campo vettoriale?

da **ext33n** » 5 set 2010, 0:21

Come mai il cambio di variabili in sferiche è qui consigliabile? Non sarebbe più facile risolvere l'integrale se vuoi il flusso attraverso una superficie?

da **DrCox** » 5 set 2010, 1:12

In coordinate cartesiane mi salta fuori un integrale assurdo. Col cambio di coordinate lo scopo era appunto semplificare ciò, solo che, nel cambio, ho appunto i dubbi sovracitati

da **RenzoDF** » 5 set 2010, 17:14

DrCox ha scritto:Applicando il teorema della divergenza, ho:

∫(2x+2y+2z)dxdydz

per effettuare il calcolo conviene fare un cambio di variabile, passando alle coordinate sferiche.

esatto visto il volume di integrazione :!:

DrCox ha scritto:Ma quali prendo? ... ho qualche problema nel determinare gli estremi degli intervalli di ciascuna delle nuove variabili...
ϕ e θ variano rispettivamente su [-π,π] e [0,π], no?
ed r invece? su [0, 1+sinθ cosϕ] ?

no! ... sta proprio qui il problema! ... se lasci il riferimento nell'origine i campi di variazione saranno diversi e piu' complessi :wink:

DrCox ha scritto:Infine, per semplificare il tutto, si sarebbe potuto traslare il campo F nel punto (1,0,0), ottenendo dunque F'=(x²+2x+1,y²,z²) avente divergenza 2x+2y+2z+2, ed usando dunque le coordinate sferiche proprio nell'origine? E' corretto traslare il campo vettoriale?

Si, proprio così, conviene ricalcolare il campo rispetto ad un riferimento in C(1,0,0) dove fisseremo la nuova origine O'; in questo modo, il campo sara' descritto da una funzione
$F^{1}=[(x+1)^{2},y^{2},z^{2}]$ e potremo integrare con i limiti di integrazione "normali"; ovvero

$\Phi =\iiint_{V}{divF^{\prime}}dv=\iiint_{V}{(2+2x+2y+2z)}\,dxdydz$

che, usando un sistema di riferimento in coordinate sferiche, diventerà

$\Phi =2\int\limits_{r=0}^{2}{dr\int\limits_{\phi =0}^{2\pi }{d\varphi }}\int\limits_{\theta =0}^{\varpi }{(1+r\sin \theta \cos \phi +}r\sin \theta \sin \phi +r\cos \theta )r^{2}\sin \theta d\theta$

$=2\int\limits_{0}^{2}{dr\int\limits_{0}^{2\pi }{d\phi }}\int\limits_{0}^{\pi }{(r^{2}\sin \theta +r^{3}(\cos \varphi +}\sin \varphi )\sin ^{2}\theta +r^{3}\cos \theta \sin \theta )\,\,\,d\theta$

$=2\int\limits_{0}^{2}{dr\int\limits_{0}^{2\pi }{\left[ -r^{2}\cos \theta +r^{3}(\cos \phi +\sin \phi )\left( \frac{1}{2}-\sin \theta \cos \theta \right)+\frac{r^{3}\sin ^{2}\theta }{2} \right]_{0}^{\pi }\,d\phi }}$

$=2\int\limits_{0}^{2}{dr\int\limits_{0}^{2\pi }{\left[ 2r^{2}+r^{3}(\cos \phi +\sin \phi )\left( \frac{1}{2}-\sin \theta \cos \theta \right)+r^{3}\sin \theta \right]_{0}^{\pi }\,d\phi }}$

ed infine

$\Phi =2\int\limits_{0}^{2}{dr\int\limits_{0}^{2\pi }{2r^{2}d\phi }}\,\,=2\int\limits_{0}^{2}{\left[ 2r^{2}\phi \right]_{0}^{2\pi }dr}=2\int\limits_{0}^{2}{4\pi r^{2}dr}=8\pi \left[ \frac{r^{3}}{3} \right]_{0}^{2}=\frac{64}{3}\pi$

... sperando di non aver sbagliato qualcosa :mrgreen:

... ma poi controllo con un CAS

da **RenzoDF** » 5 set 2010, 21:42

Prova effettuata

sempre con il "nostro" INCREDIBILE *** WolframAlpha *** ... e Gratuito :!:

Inserisco l'integrale

Codice: Seleziona tutto: Integrami [(2+2*(r*sin(u)*cos(v)+ r*sin(u)*sin(v)+ r*cos(u)))*sin(u)*r^2] r=0,2 , u=0,Pi , v= 0, 2*Pi

ed ecco, "magicamente", il risultato :mrgreen:

: Wa.gif (17.28 KiB) Osservato 2884 volte

da **sebago** » 7 set 2010, 10:40

RenzoDF ha scritto:INCREDIBILE *** WolframAlpha ***

Straverissimo :!:

Inoltre ha campi applicativi letteralmente sterminati (sbirciare per credere)
Una domanda però: dove è possibile trovare una sintassi dei comandi (almeno quelli "matematici")? Solo con gli esempi?
Renzo, siete sempre più geniacci...

da **sebago** » 7 set 2010, 10:46

Lascia stare, non è più necessario: trovato.
Ciao

da **RenzoDF** » 7 set 2010, 10:49

sebago ha scritto:Lascia stare, non è più necessario: trovato.
Ciao

ma il bello è che come vedi, anche se non conosci la sintassi di Mathematica (sulla quale si basa), riesce molte volte a capirti lo stesso :mrgreen:

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