Cambio di base

[dursino]

Sto ascoltando delle videolezioni (quelle che ho postato),ho un dubbio all'inizio della 10.
Il prof parla circa due sistemi equivalenti e ..
Quando dice:
"Supponiamo di avere uno spazio vettoriale X, sia x un generico vettore di questo.
Supponiamo adesso di voler cambiare base, sia T la nuova base.
Possiamo scrivere x=T⋅x', dove x' rappresenta ancora lo stesso vettore solo che ho cambiato la base,quindi le sue componenti sono
le componenti del medesimo elemento lungo la nuova base."

Il dubbio è banale quanto volete ma preferisco toglierlo.

x' è il vettore delle coordinate rispetto alla nuova base per ottenere nuovamente x della vecchia base?

[Felipe]

Pensalo in due dimensioni, tanto è banalmente estendibile al caso n-dimensionale. Une vettore espresso in una base si presenta:

dove i e j sono i versori della base di partenza, per cambiare base basta determinare una relazione tra quest'ultimi e l e m della nuova base:

ovvero:

il vettore espresso nel nuovo sistema sarà:

e quindi:

la matrice T^-1 è quindi ha sulle colonne gli n versori della nuova base espressi secondo quelli della prima...

[DirtyDeeds]

"Supponiamo di avere uno spazio vettoriale X, sia x un generico vettore di questo.
Supponiamo adesso di voler cambiare base, sia T la nuova base.
Possiamo scrivere x=T⋅x', dove x' rappresenta ancora lo stesso vettore solo che ho cambiato la base,quindi le sue componenti sono
le componenti del medesimo elemento lungo la nuova base."

Scritto così però non è molto corretto: non c'è distinzione tra il vettore appartenente allo spazio vettoriale e il vettore delle componenti di , che, se è uno spazio vettoriale reale di dimensione , appartiene invece a .

Quando si fa un cambiamento di base è il vettore delle componenti di che si trasforma.

[dursino]

Infatti, non è scritto al max bene.
Comunque Felipe col tuo discorso ,hai praticamente confermato ciò che dicevo,no?

[Berello]

Per rendere tutto più facile, immagina che x' sia un vettore appartenente alla base di X'. Sarebbe quindi un vettore canonico della rappresentazione in di X'.
La matrice T è costituita dai vettori colonna (scritti usando la base dello spazio vettoriale X) che corrispondono ai vettori appartenenti alla base dello spazio vettoriale X'.

Se infatti hai il primo vettore della base di X' e lo moltiplichi per la matrice T (matrice a sinistra, vettore a destra), quello che ottieni è proprio la prima colonna della matrice T (provalo! Con un esempio numerico ti sarà tutto più chiaro!), cioè ottieni il primo vettore della base di X' scritto nelle coordinate di X.

Quindi la matrice T trasforma dalla nuova base alla vecchia base, come hai detto tu. Confermo!

[RenzoDF]

Per i curiosi, "espando" la sintetica risposta di Filipe con il quale concordo (-1 a parte )

Ci sono diversi modi per definire la "matrice di cambiamento di base" come del resto le componenti vettoriali ecc. ovvero "per righe" o "per colonne"; io come Felipe uso abitualmente il primo metodo e di conseguenza a partire da



scrivo una delle due possibili forme della "matrice di cambiamento di base" T, ("per righe") come



ne segue che



e per l'unicità delle componenti dovrà essere



che porta ad una relazione per le componenti del vettore nelle due basi come



se però, preferiamo rappresentare le componenti come un vettore colonna, possiamo trasformare la relazione come



ne concludo che il Prof. di dursino usa,per la "matrice di cambiamento di base", una rappresentazione "per colonne"