Perche` s = jw?

[mattyyy]

Mi sfugge questo passaggio matematico: come mai posso studiare la risposta in frequenza di una funzione G(s) sapendo che s = jw? Cosa mi permette di dire che s = jw?

Grazie delle risposte

[carloc]

Ma quello che si dice di solito è che c'è un'equivalenza formale tra le espressioni calcolate nel dominio dei fasori e di s...

nel dominio dei fasori scrivi ad esempio le catude su un'induttanza e un condensatore come
e

se fai la stessa cosa nel dominio di s hai invece...
e

quindi si può dedurre che tutti i calcoli -su qualsiasi circuito- fatti con s sono esattamente uguali a tutti quelli fatti con e quindi arrivare all'equivalenza che hai postato

[g.schgor]

Forse questo articolo aiuta a capire il passaggio.

[IsidoroKZ]

Se vuoi la giustificazione formale del passaggio da Laplace a Fourier (e poi a Bode), questa risiede nel teorema del prolungamento analitico, che in pratica dice che se di una funzione analitica conosci quello che capita lungo una linea, anche finita, allora conosci che cosa fa la funzione in tutti i punti di analiticita`.

In pratica le funzioni in s hanno un argomento bidimensionale, come mostrato nella figura preparata da RenzoDF in questo messaggio.

Non e` necessario rappresentare queste funzioni nel modo complicato della figura, basta conoscere e rappresentare come si comporta la funzione per sigma=0, cioe` sulla linea del bordo davanti della figura che corrisponde all'asse immaginario.

Sapendo come si comporta la funzione solo sull'asse immaginario non si perde in realta` nessuna informazione di come si comporta la funzione nel resto del piano complesso. Come vantaggio si ha una maggiore facilita` di disegno e misura.

[Noise]

Intanto s=sigma+jw costituisce una varibile complessa, dove sigma e w sono variabili reali.
La Trasformata di Laplace è definita lungo una "striscia" di R^2, ]a1,a2[ x R , in cui la funzione f(t) e^-st risulta sommabile. In particolare in tale striscia deve accadere che a1<Re(s)<a2.
In generale, è possibile affermare che la trasformata di Laplace esiste su un semipiano del piano complesso a destra di un certo valore di RE(s), spesso indicato come "ascissa di convergenza".
Detto questo, la trasformata di Fourier costituisce una restrizione della traformata di Laplace all'asse immaginario (s=jw, o equivalentemente per RE(s)=0), se il semipiano di convergenza contiene l'asse immaginario, ovvero se l'ascissa di convergenza è negativa.
In termini più "pratici" si potrebbe dire che la relazione che hai scritto è valida se il sistema che stai analizzando ha autovalori (poli) a parte reale negativa e, in definitiva, se lo stesso è asintoticamente stabile.
Mi scuso in anticipo per eventuali castronerie.
Ciao a tutti

[mattyyy]

Accidenti, tutti questi ragionamenti mi stanno un po' complicando. Grazie mille delle risposte comunque!

[Berello]

Provo a darti un'ennesima risposta, chissà se non la troverai più semplice... (o se non ti confonderà di più le idee? )
Se stai studiando la teoria dei sistemi lineari per il controllo automatico, questa risposta potrebbe esserti più "familiare".

Diciamo che hai una funzione di trasferimento (come l'hai chiamata tu) e la relativa risposta impulsiva (cioè la nel dominio del tempo anziché in quello di Laplace).

Diciamo anche che, per un generico sistema, un ingresso periodico puro può essere rappresentato come (questo grazia alla formula di Eulero ).

Detto ciò, la risposta a regime permanente causata da un ingresso periodico puro () è definita come:


Se stai studiando la teoria dei sistemi lineari, fin qui dovrebbe esserti tutto chiaro.



Adesso facciamo la sostituzione di variabile e spostiamo il limite sull'estremo di integrazione (se le funzioni coinvolte sono regolari, si può fare). Ottieni questo:

Che diventa:


Se ora osservi bene, l'integrale dell'ultima formula è equivalente alla trasformata di Laplace, in cui è stata sostituita la variabile con .
Allora si può scrivere:


Dopo questo, dovrebbe esserti chiaro perché sostituisci con .
Spero di non averti confuso ancora di più le idee...

[IsidoroKZ]

Ho l'impressione che la domanda non fosse chiara da principio e questo spiega perche' sono arrivate risposte cosi` disparate.

Non sapendo poi a che livello di studio si trova l'OP, diventa ancora piu` difficile rispondere.

[mattyyy]

Mi trovo al quinto anno di itis e il prof di sistemi ci ha fatto una piccola dimostrazione del perché si passa da s a jw. Non l'ho trovata esauriente al 100% e volevo approfondire. Comunque credo che il mio problema si trovi sul fatto che il mio livello di matematica è inferiore rispetto al vostro e su alcuni passaggi faccio difficoltà.
finora la risposta di Berello è quella che mi ha chiarito di più le idee comunque, grazie!

[RenzoDF]

Mi trovo al quinto anno di itis ...finora la risposta di Berello è quella che mi ha chiarito di più le idee comunque

Scusa ma se studi in un ITI, e mi vieni a dire che la risposta di Berello e' quella che ti risulta piu' chiara, ti chiedo, ma dov'e' che studi ? ... su che pianeta ?